Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

O raio R   de uma esfera é um número aleatório uniformemente distribuído entre   L   e   3 L . Qual o valor esperado do volume da esfera?

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Queremos calcular o valor esperado da esfera de raio R   . Vocês lembram a fórmula do volume da esfera? O volume é:

4 3 π R 3

Sabemos também que R ∼ U n i f L , 3 L isto é:

f R r   =   1 2 L   para   L < r < 2 L

Então precisamos calcular E 4 3 π R 3

Passo 2

Vamos começar “abrindo” a esperança do volume da esfera:

E 4 3 π R 3 =   4 3 π E R 3

(pela linearidade da esperança)

Mas quem é E R 3 ? Como podemos calcular E R 3 ? Lembram do teorema do estatístico preguiçoso ? Esse teorema diz o seguinte:

E g X   =   ∫ Ω   g X f X x d x onde g X é uma função de X  

Lembrou? É a forma de calcular é bem parecida com a da esperança de X  

Passo 3

Vamos calcular E R 3 usando o teorema do estatístico preguiçoso comentado apresentado no passo anterior.

E R 3   =   ∫ L 3 L r 3 f R r d r

=   ∫ L 3 L r 3 ⋅ 1 2 L d r

=   1 2 L ∫ L 3 L r 3 d r

=   1 2 L ⋅ r 4 4 ​ r = L r = 3 L

=   1 2 L ⋅ 3 L 4   -   L 4 4

=   1 2 L ⋅ 80 L 4 4

=   10 L 3

Pronto agora podemos calcular a esperança do volume da esfera

E 4 3 π R 3 =   4 3 π E R 3

=   4 3 π ⋅ 10 L 3

=   π ⋅ 40 L 3 3

Resposta

=   π ⋅ 40 L 3 3

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