USP - Probabilidade e Estatística – Probabilidades - PSUB - 2019 – Teste 05
Em um terminal chegam ônibus independentemente e aleatoriamente entre . O momento de chegada de cada ônibus segue uma distribuição uniforme. O número de ônibus que chegam entre têm esperança e desvio padrão . O valor de é:
Passo 1
Fala pessoal, vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos revisar as informações passadas no enunciado.
Temos:
ônibus chegam aleatoriamente entre .
Se representa o tempo de chegada do i-ésimo ônibus, então
Os ônibus chegam de forma independente.
Queremos calcular , onde é a média do número de ônibuss que chegam entre e o desvio padrão, que é a raiz da variância.
Passo 2
Como queremos calcular , vamos primeiro descibrir quem são . De que forma podemos obter essa média e essa variâcia? Será que podemos descobrir qual é a distribuição do número de onibus que chegam entre ? O que vocês acham?
Talvez se usarmos o fato que cada ônibus podemos concluir algo.
Mãos a obra!!
Passo 3
Vamos tentar calcular a probabilidade do ônibus chegar ao terminal entre .
Lembrando que se então
Sendo assim,
E a probabilidade dele NÃO chegar entre ? Como o evento do ônibus não chegar entre é o complementar de ele chegar entre tem-se que
(Pela probabilidade de eventos complementares)
Passo 4
Agora que sabemos a probabilidade do ônibus chegar entre , podemos nos perguntar qual a probabilidade de exatamente ônibus, dos , chegarem entre .
Vamos supor que os ônibus chegam entre
Como os ônibus chegam de forma independente. A probabilidade será:
Supomos que ônibus chegaram, mas não sabemos em que ordem, ou quais ônibus. Então, precisamos descobrir de quantas formas ônibus podem chegar entre . Isto é, de quantas formas podemos escolher ônibus em ? Isso será a combinação de escolhe que é:
Então chegamos à conclusão que a probabilidade de exatamente ônibus, dos , chegarem entre é:
Essa estrutura parece familiar, não acha?
Pois essa é a distribuição de uma Binomial(,).
Passo 5
Vamos lembrar, queríamos calcular primeiro para depois obtermos .
No passo anterior, chegamos a conclusão que o número de ônibus que chegam entre segue uma distribuição Binomial(,).
Então, a média e variância de uma binomial são manjadas. E são:
.
No nosso caso,
Então:
Logo
Com isso terminamos mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!! 😊