Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – 2019.2 - P2
Seja uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo de . Para cada item da parte inferior, calcule o valor de de forma a satisfazer a condição dada.
- ;
- ;
- .
Passo 1
Bom, estamos trabalhando com uma variável aleatória contínua com densidade uniforme. Portanto, nosso primeiro ponto é escrevermos a função de probabilidade para esta variável.
Para distribuições uniformes em geral no intervalo , a função probabilidade é dada por:
Para o nosso caso, o intervalo é . Portanto, nossa função é dada por:
Agora que escrevemos a relação da nossa função, podemos escrever a relação matemática que devemos calcular. Para isto, vamos usar a identidade dada na questão. Neste caso, temos:
Mas sabemos que a probabilidade pode ser escrita através da seguinte integral:
Passo 2
Nosso trabalho agora é resolvermos a integral descrita no final do Passo 1. Ao resolvermos ela, vamos conseguir obter o valor de que satisfaz a nossa relação.
Então, vamos lá para a parte da integração. Portanto,
Temos que assumir que . Caso isto não fosse verdade, se ou , as probabilidades de ambos os eventos seriam nulas (o que toraria a igualdade uma verdade, mas não é esta a resposta que estamos buscando aqui).
Vamos continuar a análise assumindo que , assim, descobriremos apenas um único valor para a nossa resposta.
Agora que separamos os intervalos de integração das nossas integrais (através das propriedades de integrais), vamos substituir o valor de para cada um dos intervalos. Logo,
Agora, basta resolvermos a equação acima. Portanto,
Portanto, o valor de que satisfaz a relação é .