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Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

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Enunciado

Distribuição Uniforme e Contínua

Seja X uma variável aleatória contínua com densidade Uniforme no intervalo de - θ , + θ .

Em cada caso abaixo calcule " θ " de forma a satisfazer a condição dada.

  1. P X > 1 2 = 1 4
  2. P X < 1 4 = 3 4
  3. P X > 1 2 = 2 . P X < - 1
  4. P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4

Passo 1

Estamos tratando de uma v.a. com densidade Uniforme, vamos primeiro recapitular qual a função de densidade da v.a. Uniforme.

f x = 1 b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b           0   ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

Porém, pra calcular as probabilidades, vamos usar a função acumulada FDA, que é:

F x = 0   ,                   s e   x ≤ a x - a b - a   ,                   s e   a ≤ x ≤ b 1   ,                     s e     x ≥ b

Nessa questão, como o intervalo é - θ , + θ , vamos ter que:

a = - θ

b = θ

Aí vamos ter:

F x = x + θ 2 θ

Beleza?

Passo 2

(a)

P X > 1 2 = 1 4

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

Usando a FDA, é só substituir x = 1 2 .

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

Isso tem que ser igual a 1 4 .

1 - 1 2 + θ 2 θ = 1 4

Passo 3

Matemática... mudando as coisas de lado...

1 2 + θ 2 θ = 3 4

1 2 + θ = 3 2 . θ

θ - 3 2 θ = - 1 2

- 1 2 θ = - 1 2

θ = 1

Passo 4

(b)

P X < 1 4 = 3 4

É só aplicar direto a FDA.

P X < 1 4 = 1 4 + θ 2 θ = 3 4

1 4 + θ = 3 2 θ

θ - 3 2 θ = - 1 4

- 1 2 θ = - 1 4

θ = 1 2

Passo 5

(c)

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

Partes por partes...

P X > 1 2 = 1 - P X < 1 2

= 1 - 1 2 + θ 2 θ

E:

P X < - 1 = - 1 + θ 2 θ

Agora é só juntar tudo numa equação e resolver.

Passo 6

P X > 1 2 = 2 . P X < - 1

1 - 1 2 + θ 2 θ = 2 . - 1 + θ 2 θ

Cortando o 2   ali.

1 - 1 2 + θ 2 θ = - 1 + θ θ

Vou multiplicar geral por 2 θ .

2 θ - 1 2 + θ = - 2 + 2 θ

Corta o 2 θ dos dois lados...

- 1 2 - θ = - 2

θ = - 1 2 + 2

θ = 3 2

Passo 7

(d)

P X < 1 2 = 2 . P X > 1 4

Mesma coisa, uma de cada vez.

P X < 1 2 = 1 2 + θ 2 θ

P X > 1 4 = 1 - 1 4 + θ 2 θ

Joga na equação e resolve.

Passo 8

1 2 + θ 2 θ = 2 . 1 - 1 4 + θ 2 θ

1 2 + θ 2 θ = 2 - 1 4 + θ θ

Multiplicar todo mundo por 2 θ de novo.

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 + 2 θ

1 2 + θ = 4 θ - 1 2 - 2 θ

1 2 + θ = 2 θ - 1 2

θ = 1

Resposta

a   θ = 1

b   θ = 1 2

c   θ = 3 2

d   θ = 1

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