Probabilidade e Estatística – PUC-Rio – 2019.2 - P2
Seja uma variável aleatória contínua com densidade uniforme no intervalo de . Para cada item da parte inferior, calcule o valor de de forma a satisfazer a condição dada.
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Passo 1
Bom, estamos trabalhando com uma variável aleatória contínua com densidade uniforme. Portanto, nosso primeiro ponto é escrevermos a função de probabilidade para esta variável.
Para distribuições uniformes em geral no intervalo , a função probabilidade é dada por:
Para o nosso caso, o intervalo é . Portanto, nossa função é dada por:
Agora que escrevemos a relação da nossa função, podemos escrever a relação matemática que devemos calcular. Para isto, vamos usar a identidade dada na questão. Neste caso, temos:
Mas sabemos que a probabilidade pode ser escrita através da seguinte integral:
Passo 2
Nosso trabalho agora é resolvermos a integral descrita no final do Passo 1. Ao resolvermos ela, vamos conseguir obter o valor de que satisfaz a nossa relação.
Então, vamos lá para a parte da integração. Portanto,
Temos que assumir que . Caso isto não fosse verdade, se , a probabilidade seria 1, pois iriamos incluir todo o intervalo de na nossa análise.
Agora que separamos a nossa integral em duas (através das propriedades de integrais), vamos substituir o valor de para cada um dos intervalos. Logo,
Agora, basta resolvermos a equação acima. Portanto,
Portanto, o valor de que satisfaz a relação é .