Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Uma bobina com uma indutância de 2,0   H e uma resistência de 10   Ω são ligadas bruscamente a uma fonte ideal com ε = 100   V . Um décimo de segundo após ser feita a ligação, determine (a) a taxa com a qual a energia está sendo armazenada no campo magnético da bobina; (b) a potência dissipada na resistência; (c) a potência fornecida pela fonte.

Passo 1

Bom, se a bobina está ligada a um resistor e a uma fonte externa, trata-se de um circuito R L com aumento da corrente, que é dada por

i = ε R 1 - e - t τ

A energia armazenada no campo da bobina é

U B = 1 2 L i 2

Assim, a potência associada será

P B = d U B d t = 1 2 ⋅ 2 L i ⋅ d i d t = L i d i d t

Mas sabemos que

d i d t = ε R τ e - t τ = ε L e - R t L

Portanto,

P B = L i ⋅ ε L e - R t L = ε ⋅ ε R 1 - e - R t L ⋅ e - R t L = ε 2 R 1 - e - R t L ⋅ e - R t L

Substituindo os dados do problema para t = 0,1   s :

P B = 240   W

Passo 2

Agora vamos calcular a potência dissipada na resistência:

P R = R i 2

Assim,

P R = R ⋅ ε 2 R 2 1 - e - R t L 2 = ε 2 R 1 - e - R t L 2

Substituindo os dados com t = 0,1   s :

P R = 150   W

Passo 3

Por fim, queremos a potência fornecida pela bateria. Por conservação de energia:

P = P B + P R = 240 + 150 = 390   W

Essa é a potência para um instante específico do tempo ( t = 0,1   s ).

Resposta

P B = 240   W

P R = 150   W

P = 390   W

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