UFSCAR, Sem Campus, Física 3, AV1 - 2022.2 - Prof° Matheus Paes, Questão 3
Considere um cilindro longo de raio , o qual possui uma densidade volumétrica de carga , onde é uma constante e é uma distância radial até o eixo central do cilindro. Para qual distância radial no exterior do cilindro () o campo elétrico possui o mesmo valor do campo em ? (Expresse o resultado em função de ).
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um cilindro longo de raio :
Esse cilindro tem uma densidade volumétrica de carga , onde é uma constante e é uma distância radial até o eixo central do cilindro. Quê que isso quer dizer?
Quer dizer que o é uma distância qualquer na direção radial, ele pode ser maior que o raio do cilindro, menor que o raio do cilindro ou está ali no meio. E aí, o enunciado quer saber qual é essa distância que vai ter o mesmo campo elétrico em (no exterior do cilindro) e em , beleza?
Pra encontrar essa distância radial e expressar o resultado em função de , precisamos primeiro definir o campo elétrico nessas duas regiões ( e ). Pra isso, vamos usar a equação:
Como é a área do cilindro, ficamos com a expressão:
E o campo é dado por:
Daí, basta saber em cada caso, qual é a carga dentro da superfície cilíndrica considerada, aplicar na equação do campo e depois igualar as duas expressões pra descobrir .
Vamos lá!
Passo 2
O nosso cilindro tem uma densidade de carga e nós queremos descobrir a carga total para um comprimento . Para isso, temos que integrar a densidade de carga no volume:
Como vamos fazer a integral em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume pode ser escrito como:
Com isso, só precisamos fazer a integral em :
Note que estamos integrando de até , varrendo todo o cilindro. E vai nos ser útil saber a carga até uma distância . Para isso, vamos calcular:
Substituindo :
Integrando:
Passo 3
No passo , nós vimos que o campo elétrico é dado por:
Onde é a carga no cilindro, que nós encontramos no passo anterior. Vamos então substituir na equação:
Como nós definimos lá em cima , esse é o campo elétrico dentro do cilindro. Se nós substituirmos , temos:
E para , no exterior do cilindro, qual seria o campo? Do mesmo modo que no passo , nós teríamos:
Substituindo na equação do campo:
Passo 4
Mas o enunciado quer saber qual é distância radial no exterior do cilindro () para o qual o campo elétrico possui o mesmo valor do campo em . A gente já descobriu o valor do campo nessas duas situações, então basta igualar as duas expressões ( e ):
Simplificando, temos:
Colocando em função de :
Logo,
Essa é a distância na qual os campos se igualam.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉