Um solenóide longo de comprimento e área de seção reta contém espiras circulares e transporta uma corrente de . Supondo que o campo magnético dentro do solenóide é uniforme, calcule:
- O campo magnético no solenóide;
- A densidade de energia no campo magnético, se o solenóide for preenchido com ar;
- A energia total contida no campo magnético da bobina;
- A auto-indutância do solenóide.
Passo 1
a) Esse exercício é bom porque a gente pode revisar, rapidinho, algumas coisas importantes sobre o campo magnético de um solenóide.
A primeira coisa é que, como esse solenóide é longo, ou seja, o comprimento dele é muito maior do que o diâmetro de cada espira, o campo magnético gerado pela corrente fica todo armazenado no interior do solenóide e tem o mesmo valor em todos os pontos lá dentro, por isso o enunciado fala que esse campo é uniforme.
A expressão para o módulo desse campo é
Substituindo os valores que o enunciado fornece, obtemos esse módulo é
Passo 2
b) A gente também viu na teoria que a região no interior dentro do solenóide, que armazena um campo magnético uniforme, contém uma energia devida à esse campo. O valor da densidade de energia acumulada dentro do campo magnético uniforme do solenóide é
Ou seja, cada metro cúbico da região no interior do solenóide armazena uma quantidade de energia de .
Passo 3
c) Bom, se cada do volume do interior do solenóide armazena de energia, para encontrar a energia total armazenada no volume de dentro do solenóide, a gente precisa multiplicar essa energia pela valor do volume total, que é dado por
Colocando tudo isso junto, a gente fica com
Esse é o valor da energia total armazenada no campo magnético uniforme no interior do solenóide.
Passo 4
d) Mas, agora, quero te ajudar a lembrar do seguinte: também podemos expressar a energia armazenada no campo magnético como
em que é chamada de auto-indutância do sistema. No caso do nosso exercício aqui, esse sistema com energia dentro é o solenóide, blz?
Daí, ficou tranquilo, né? Se a gente usa essa última expressão para a energia total, a auto-indutância é dada por