Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Um solenóide longo de comprimento L = 25,0   c m e área de seção reta A = 0,500   c m 2 contém N = 400 espiras circulares e transporta uma corrente de I = 80,0   A . Supondo que o campo magnético dentro do solenóide é uniforme, calcule:

  1. O campo magnético no solenóide;
  2. A densidade de energia no campo magnético, se o solenóide for preenchido com ar;
  3. A energia total contida no campo magnético da bobina;
  4. A auto-indutância do solenóide.

Passo 1

a) Esse exercício é bom porque a gente pode revisar, rapidinho, algumas coisas importantes sobre o campo magnético de um solenóide.

A primeira coisa é que, como esse solenóide é longo, ou seja, o comprimento dele é muito maior do que o diâmetro de cada espira, o campo magnético gerado pela corrente fica todo armazenado no interior do solenóide e tem o mesmo valor em todos os pontos lá dentro, por isso o enunciado fala que esse campo é uniforme.

A expressão para o módulo desse campo é

B = μ 0 N I L .

Substituindo os valores que o enunciado fornece, obtemos esse módulo é

B = 4 π × 10 - 7 × 400 × 80 25 × 10 - 2 = 0,161   T .

Passo 2

b) A gente também viu na teoria que a região no interior dentro do solenóide, que armazena um campo magnético uniforme, contém uma energia devida à esse campo. O valor da densidade de energia acumulada dentro do campo magnético uniforme do solenóide é

u = B 2 2 μ 0 = 0,161 2 2 × 4 π × 10 - 7 = 1,03   ×   10 4 J m 3 .

Ou seja, cada metro cúbico m 3 da região no interior do solenóide armazena uma quantidade de energia de 1,03   ×   10 4   J .

Passo 3

c) Bom, se cada m 3 do volume do interior do solenóide armazena 1,03   ×   10 4   J de energia, para encontrar a energia total armazenada no volume de dentro do solenóide, a gente precisa multiplicar essa energia pela valor do volume total, que é dado por

V t o t a l = A L .

Colocando tudo isso junto, a gente fica com

U t o t a l = 1,03   ×   10 4 J m 3 × 0,5 × 10 - 4 × 25 × 10 - 2 = 0,129   J .

Esse é o valor da energia total armazenada no campo magnético uniforme no interior do solenóide.

Passo 4

d) Mas, agora, quero te ajudar a lembrar do seguinte: também podemos expressar a energia armazenada no campo magnético como

U t o t a l = L I 2 2 ,

em que L é chamada de auto-indutância do sistema. No caso do nosso exercício aqui, esse sistema com energia dentro é o solenóide, blz?

Daí, ficou tranquilo, né? Se a gente usa essa última expressão para a energia total, a auto-indutância é dada por

L = 2 U t o t a l I 2 = 2 × 0,129 80 2 =   4,02   ×   10 - 5   H .

Resposta

  1. B = 0,161   T ;
  2. u = 1,03   ×   10 4   J m 3 ;
  3. U t o t a l = 0,129     J ;
  4. L = 4,02   ×   10 - 5   H .

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