Exercícios Resolvidos de Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

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Enunciado

Considere um campo magnético estacionário não uniforme dado por B → = D r ϕ ^ onde r é a distância do ponto de aplicação do campo magnético até um determinado eixo, ϕ ^ é o vetor unitário circular em torno de tal eixo, e D = const . Qual opção indica a energia por unidade de comprimento ao longo do eixo, entre duas superfícies cilíndricas coaxiais com eixo supracitado, de raios r = a e r = b , com a < b ?

  1. π D 2 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  2. π D 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  3. 4 π D 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  4. 4 π D μ 0 b - a
  5. D 2 2 μ 0 1 b - a

Passo 1

Aplicando a fórmula da densidade de energia do campo magnético:

u = B 2 2 μ 0

Conseguimos a energia por comprimento se integramos na área da coroa circular:

d U d z = ∬ S   B 2 2 μ 0 d A

Passo 2

Como já temos o campo, aplicando coordenadas polares (usando o macete de uma integral só):

A = π r 2

d A = 2 π r   d r

Substituindo:

d U d z = 2 π 2 μ 0 ∫ a b D r 2 r d r

d U d z = π D 2 μ 0 ∫ a b d r r

d U d z = π D 2 μ 0 ln ⁡ b a

Resposta

Letra b

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