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Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

Origem do Exercício

Considere a função de onda independente do tempo ψ x dada por

ψ x =   C 1 + x a 1 / 2   s e     - a ≤ x ≤ 0 , C 1 - x b 1 / 2   s e             0 ≤ x ≤ b , 0                                         c a s o   c o n t r á r i o ,

onde a e b são constantes positivas e C é a constante de normalização.

  1. Calcule C .
  2. Qual é a probabilidade de encontrarmos a partícula na metade positiva do eixo x ?
  3. Qual é o valor médio da posição da partícula?

Passo 1

Letra a)

Para acharmos C , precisamos normalizar a função de onda ψ x . Para isso, temos:

∫ - ∞ ∞ ψ 2 x d x = 1

Como ψ x = 0 pra x < - a e pra x > 0 , podemos tirar essas partes.

∫ - ∞ ∞ ψ 2 x d x = ∫ - a b ψ 2 x d x

Porém, o formato de ψ x muda em x = 0 , logo o de ψ 2 x também. Podemos separar essa integral:

∫ - a 0 C 2 1 + x a d x + ∫ 0 b C 2 1 - x b d x = 1

Resolvendo cada uma, teremos:

C 2 ⋅ x + x 2 2 a - a 0 + C 2 ⋅ x - x 2 2 b 0 b = C 2 ⋅ 0 - - a + a 2 2 a + b - b 2 2 b = 1

C 2 ⋅ a 2 + b 2 = 1

C = 2 a + b

Passo 2

Letra b)

Para acharmos essa probabilidade, fazemos:

P x ≥ 0 = ∫ 0 ∞ ψ 2 x d x = ∫ 0 b C 2 1 - x b d x = C 2 ⋅ x - x 2 2 b 0 b = C 2 ⋅ b 2

P x ≥ 0 = 2 a + b ⋅ b 2 = b a + b

Passo 3

Letra c)

Como ψ 2 x é a distribuição de probabilidade de encontrarmos a partícula numa dada posição x , o valor médio dessa posição vai ser:

< x >   = ∫ - ∞ ∞ x ⋅ ψ 2 x d x

Poderíamos ter dito isso de outra forma, que é mais comum de se ver, que é dizer que o valor médio da posição é igual a

< x >   = ∫ - ∞ ∞ ψ x ⋅ x ⋅ ψ x d x

Então vamos lá. Novamente, em algumas regiões temos ψ x = 0 . Logo:

< x >   = ∫ - ∞ ∞ x ⋅ ψ 2 x d x = ∫ - a b x ⋅ ψ 2 x d x

Vamos abrir essa expressão, e teremos:

< x >   = ∫ - a b x ⋅ ψ 2 x d x = ∫ - a 0 C 2 x 1 + x a d x + ∫ 0 b C 2 x 1 - x b d x

< x >   = ∫ - a 0 C 2 x + x 2 a d x + ∫ 0 b C 2 x - x 2 b d x

< x >   = 2 a + b ⋅ x 2 2 + x 3 3 a - a 0 + x 2 2 - x 3 3 b 0 b

< x >   = 2 a + b ⋅ - a 2 2 - a 3 3 a + b 2 2 - b 3 3 b = 2 a + b ⋅ - a 2 6 + b 2 6

< x >   = 1 3 ⋅ b 2 - a 2 b + a = 1 3 b - a b + a b + a = 1 3 b - a

Resposta

Letra a)

C = 2 a + b

Letra b)

P x ≥ 0 = b a + b

Letra c)

< x >   = 1 3 b - a

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