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Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Exercício 241234567891011121314151617181920212223

Enunciado

Origem do Exercício

Considere uma função de onda de uma partícula dada por Ψ x = A x / l , para 0 ≤ x ≤ l , Ψ x = A 3 l - x / 2 l , para l ≤ x ≤ 3 l e Ψ x = 0 , para outros valores de x .

Determine o valor de A para o qual a função de onda da partícula fique normalizada.

  1. A = 2 / l
  2. A = 1 / l
  3. A = 1 / 3 l
  4. A = 2 / l
  5. A = 1 / 2 l

Passo 1

Vou nem pensar, já vou sair normalizando essa função show de bola.

1 = ∫ - ∞ + ∞ Ψ 2 x d x

Para x ≤ 0 , Ψ x = 0 . Além disso, para x ≥ 3 l também temos Ψ x = 0 . Logo, nossa integral se reduz a:

1 = ∫ 0 3 l Ψ 2 x d x

Porém, em x = l , o formato da função muda. Logo:

1 = ∫ 0 l A 2 x 2 l 2 d x + ∫ l 3 l A 2 4 l 2 3 l - x 2 d x

Integrando:

1 = A 2 x 3 3 l 2 0 l + ∫ l 3 l A 2 4 l 2 3 l - x 2 d x

Essa segunda integral, podemos fazer uma substituição simples com u = 3 l - x , o que dá:

∫ l 3 l A 2 4 l 2 3 l - x 2 d x = - ∫ 2 l 0 A 2 4 l 2 u 2 d u = ∫ 0 2 l A 2 4 l 2 u 2 d u = A 2 12 l 2 u 3 0 2 l

O resultado então fica:

1 = A 2 l 3 3 l 2 + A 2 8 l 3 12 l 2 = A 2 l 3 + 2 l 3 = A 2 l

A = 1 l

A resposta então é a letra b .

Resposta

Letra b

A = 1 l

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