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Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Exercício 712345689101112131415161718192021222324

Enunciado

A função ψ ⁡ x da Eq.38-19 descreve uma partícula livre para a qual supusemos que U x = 0 na equação de Schrödinger (Eq.38-15).

Suponha que U ⁡ x = U 0 , onde U o é uma constante.

Mostre que a Eq.38-19 continua a ser uma solução da equação de Schrödinger, mas o valor do número de onda angular k da partícula passa a ser dado por:

k = 2 π h 2 m E - U 0

Dadas:

Equação 38-19

ψ ⁡ x = ψ 0 e i k x

Equação 38-15 (Equação de Schrödinger, movimento unidimensional)

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x ψ = 0

Passo 1

Vamos calcular a derivada segunda da função ψ ⁡ x .

ψ ⁡ x = ψ 0 e i k x

d ψ d x = ψ 0 ∙ i k ∙ e i k x

d 2 ψ d x 2 = ψ 0 ∙ i k 2 ∙ e i k x = - k 2 ∙ ψ 0 e i k x = - k 2 ψ

Mostramos nesse passo que:

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0

Passo 2

Do passo anterior:

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0

Porém, queremos reaver a equação de Schrödinger

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x ψ = 0

Mas do enunciado, temos que U ⁡ x = U 0 é constante. Substituindo:

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U 0 ψ = 0

Para as duas equações serem a mesma, precisamos ter que:

k 2 = 8 π 2 m h 2 E - U 0 = 4 π 2 h 2 ∙ 2 m E - U 0

Tirando a raiz quadrada:

k = 2 π h ∙ 2 m E - U 0

Que é a expressão que desejamos.

Passo 3

-

Por fim, vamos apenas reconfirmar o que fizemos. Temos:

k = 2 π h ∙ 2 m E - U 0     →     k 2 = 8 π 2 m h 2 E - U 0

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ   =   d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U ⁡ x ψ   =   0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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