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Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Exercício 312456789101112131415161718192021222324

Enunciado

Mostre que a Eq.38-17 é uma solução da Eq.38-16 substituindo ψ ⁡ x e sua derivada segunda na Eq.38-16 e observando que o resultado é uma identidade.

Dados:

Equação 38-16 (Equação de Schrödinger, partícula livre):

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0

Equação 38-17:

ψ ⁡ x = A e i k x + B e - i k x

Passo 1

-

Vamos derivar a função ψ ⁡ x :

ψ ⁡ x = A e i k x + B e - i k x

d ψ d x = A ∙ i k ∙ e i k x - B ∙ i k ∙ e - i k x

d 2 ψ d x 2 = A ∙ i k 2 ∙ e i k x + B ∙ i k 2 ∙ e - i k x

Agora, como i 2 = - 1 , vamos rearranjar a segunda derivada:

d 2 ψ d x 2 = - A ∙ k 2 ∙ e i k x - B ∙ k 2 ∙ e - i k x = - k 2 ∙ A e i k x + B e - i k x = - k 2 ψ

Note que:

d 2 ψ d x 2 = - k 2 ψ

Ou seja, já provamos direto que:

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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