Exercícios Resolvidos de Equação de Schrödinger

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Enunciado

A função de onda do estado fundamental de uma partícula numa caixa unidimensional com paredes intransponíveis é dada por ψ x = 2 L sen ⁡ π x L , para 0 < x < L e nula em qualquer outra região.

Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada entre x = 0 e x = L / 4 .

Dado: ∫ sen 2 ⁡ b x d x = x / 2 - sen ⁡ 2 b x / 4 b

  1. 91 %
  2. 0 %
  3. 100 %
  4. 1 %
  5. 9 %

Passo 1

A probabilidade de uma partícula ser encontrada entre dois pontos c e d do espaço é dada por:

P a b = ∫ c d ψ 2 x d x

No nosso caso, temos:

P = ∫ 0 L / 4 2 L sen 2 ⁡ π x L d x = 2 L ∫ 0 L / 4 sen 2 ⁡ π x L d x

Pelo enunciado, se fizermos π L = b , temos:

∫ 0 L / 4 sen 2 ⁡ π x L d x =   x 2 - sen ⁡ 2 π x L 4 π / L 0 x = L / 4 = L 8 - L 4 π - 0 = L 8 - L 4 π

Assim, a probabilidade vai ser:

P = 2 L ⋅ L 8 - L 4 π = 1 4 - 1 2 π ≈ 0,25 - 0,16 = 0,09 = 9 %

Que corresponde a letra e).

Resposta

Letra e)

P = 9 %

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