Origem do Exercício
Uma partícula de massa executa oscilações em uma reta em torno de sua posição de equilíbrio em , sujeita a um potencial harmônico dado por , com e uma constante. A função de onda do estado fundamental da partícula é
onde e são constantes positivas.
- Calcule e a energia do estado fundamental do oscilador, em termos dos parâmetros dados: , , e .
- Calcule a constante .
- Qual é a probabilidade de encontrar a partícula na região .
Passo 1
Letra a)
A equação de Schrödinger é:
Como a energia potencial neste caso é , a equação de Schrödinger fica:
Mas o enunciado nos diz que:
Vamos ver sua derivada segunda:
Substituindo tudo na equação:
Dividindo tudo por , vamos ficar com o seguinte:
Em ambos os lados eu tenho um polinômio de segundo grau!
Deixa eu dar uma ajeitada pra você poder enxergar:
Para dois polinômios de mesmo grau serem iguais, os coeficientes deles têm que ser iguais! Uma outra forma de ver isso, é colocando tudo do mesmo lado:
Essa equação tem que ser igual a zero pra QUALQUER valor de ! Por isso, o que está entre parênteses tem que ser zero.
Passo 2
Com as duas igualdades que deduzimos, podemos achar e .
Agora usando esse valor de na igualdade da energia:
Passo 3
Letra b)
Para calcular a constante , precisamos normalizar a função de onda.
Sendo que:
Integrando:
Agora eu vou roubar. Na prova, no formulário, a integral da esquerda é uma das que deveriam ser dadas. De fato, nesta prova ela havia sido dada mesmo.
O motivo desta ter que ser dada é que ela não é simples de resolver. Ela é uma integral chamada “integral gaussiana”, e as formas de achar o valor dela são todas meio maceteadas, tipo jogar vídeo game com hack.
O que importa é que no nosso caso, , e assim:
Além disso:
E assim:
Passo 4
Letra c)
Vamos roubar mais um pouquinho. Vamos voltar pra condição de normalização.
Podemos separar ela em duas:
Agora vem a magia. Lembra que
Nota que
Isso significa que as duas integrais são exatamente iguais! Saca só:
Fazendo :
Temos também e:
Se ambas as integrais são iguais e somam , então cada uma vale .
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)