Uma partícula de massa e energia que se move da direita para a esquerda incide sobre a barreira de potencial mostrada na figura

(a) Qual a função de onda na região ?

(b) Escreva a equação de Schrödinger para a partícula na região () e determine a solução geral nessa região

(c) Escreva a equação de Schrödinger para a partícula na região () e determine a solução geral nessa região

(d) Escreva as condições de contorno que as funções de onda determinadas nos trechos , e devem satisfazer. Determine o sistema de equações que as constantes arbitrarias contidas nas soluções da equação de Schrödinger satisfazem (não é necessário resolver o sistema)

Primeiro ele pede que escrevamos a equação de Schrödinger na região . Nessa região o potencial será

onde .

Lembrando que , logo esse é real.

A solução dessa equação será

, para

Agora vamos escrever a equação de Schrödinger para a região . Nesse caso a energia potencial será nula e estaremos lidando com o problema de elétron livre (leve e solto rs)

onde .

A solução geral nesse caso agora será

, para

Agora vamos ver as condições de contorno. A função de onda tem que ser continua na interface entre as regiões e () e entre as regiões e ().

Assim para

já que .

Agora para

A última condição de contorno que falta é que a derivada na função de onda também é contínua.

Como a continuidade da função de onda a continuidade da derivada acontece em e , mas para nós só interessará em . Isso porque em chegaríamos na mesma equação que a continuidade da função de onda nos deu em .

Assim

E assim chegamos no sistema de equações obtidas através das condições de contorno

E como o enunciado não pede que resolvamos esse sistema de equações, paramos por aqui! Até a próxima!

Ps: Os curiosos podem ter ser perguntado: “Pow, eu tenho 4 incógnitas e 3 equações. Não deveria ter mais uma???”. A resposta é: Sim! A quarta equação vem da normalização da função de onda. Mas como o enunciado nem toca no assunto e diz que não precisa resolver o sistema de equações, a gente deixa pra lá :)