Uma partícula de massa e com energia potencial move-se ao longo do eixo . A função de onda do estado estacionário (estado com energia bem definida) em que a partícula se encontra é dada por
onde , e são constantes positivas e reais.
Forneça suas respostas em termos de , , e
(a) Qual é a energia dessa partícula?
(b) Calcule a constante
(c) Determine
(d) Calcule (valor médio do quadrado da posição)
(e) A incerteza na posição da partícula é dada por . Sabendo-se que para este sistema , determine a incerteza mínima na medida do momento da partícula.
Passo 1
(a) Energia da partícula
Sabemos que a função de onda de onda para um estado estacionário é o produto de uma parte espacial com uma parte temporal.
Comparando com a função dada pelo enunciado, vemos que os expoentes imaginários têm que ser iguais, ou seja, estamos igualando as partes temporais
Passo 2
Aqui temos que lembrar que a função de onda tem que ser normalizada
Lembrando que é o complexo conjugado de , ou seja
No caso aqui só a exponencial complexa que troca o sinal já que o resto é real (o enunciado diz que é real).
Dessa forma
O valor dessa integral de uma gaussiana boladona vai ser
Relaxa que provavelmente vai estar no formulário da sua prova já que ela costuma aparecer bastante nesse tipo de problema e é meio chatinha de calcular! :)
Assim a condição de normalização fica
Passo 3
Aqui a gente tem o caso inverso. Geralmente temos que achar a função de onda , dado um potencial . Agora ele já deu a “solução” pra gente e está pedindo o potencial! Mas eu sei que você é fera e já sacou isso ;)
Para achar esse temos que lembrar da equação de Schrödinger
Se calcularmos esses termos com as derivadas, uma vez que já sabemos quem é , podemos por meio da equação de Schrödinger achar o potencial !
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas!
O primeiro termo do lado esquerdo é o termo de energia cinética e é dado por
E essa derivada dupla será
onde usamos a regra do produto na segunda derivada e malandramente deixamos essa exponencial em evidência no final. O legal disso é que voltando ao nosso termo
Ta vendo? Ali no ultimo termo da igualdade? Tá ali a nossa função de onda escondida! Assim
Show! Agora vamos partir para o termo com a derivada temporal (lado direito da equação)
Essa última deriva é mais tranquila agora
De forma que
onde usamos que
Passo 5
Show agora é só jogar tudo na equação de Schrödinger! Aqui ela
Substituindo
agora podemos cortar o e isolar o
Passo 6
Sabemos que o valor médio de é dado por (já substituindo o encontrado lá no item (b))
Agora temos uma integral ainda mais boladona para resolver! Uma integral megaboladona!
Essa integral a gente também tem que olhar no formulário! No caso ela será
Se liga aí! Pode ser que no seu formulário não apareça essa fórmula bonitinha aqui em cima mas apareça para um , ou seja, um caso mais geral! Seria algo do tipo
Que quando você substitui , seria a equação anterior
Beleza, beleza, voltando para o
Passo 7
Primeiramente, vamos calcular a incerteza na posição
Como, segundo o enunciado, e já calculamos temos
Passo 8
Vamos lembrar do princípio da incerteza de Heisenberg
Se sabemos a incerteza da posição a incerteza do momento fica condicionada a
Teremos incerteza mínima quando for o menor possível, ou seja