UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.7
Físicos gostam de trocar por em todos os lugares. Suponha que você é um físico que sabe matemática e justifique esse seu comportamento, explicando sua validade para valores bem pequenos de . Qual o erro que você comete quando faz essa troca para .
Passo 1
Oi pessoal, como vocês estão?
Nessa questão temos um problema bem interessante. Em muitas questões de física, o pessoal apela um pouco e usa que se é muito pequeno:
Será que isso é muita apelação ou é razoável?
É justamente o que o enunciado nos pede para responder, utilizando o polinômio de Taylor.
Depois, vamos calcular o erro dessa aproximação para .
Pra verificar o que o enunciado está pedindo, vamos escrever o polinômio de Taylor até o grau para a função:
Vamos fazer isso centrado em , pois para valores muito pequenos de , temos próximo de .
Daí, a expressão do polinômio é dada por:
Massa! Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas:
Daí:
Derivando mais uma vez:
Logo:
Derivando mais uma vez, temos:
Daí:
Excelente!
Passo 3
Agora vamos substituir esses nossos resultados na expressão para :
Daí, pensa comigo, se é muito pequeno, então:
Logo:
Assim, chegamos a conclusão que:
Se tomássemos polinômios de Taylor de grau maior, essa aproximação seria ainda mais forte nos demais termos. E, como é uma aproximação para , temos:
Se é muito próximo de .
Legal né?!
Passo 4
Agora vamos calcular o erro dessa aproximação para .
Daí:
Logo:
É um erro bem pequeno né pessoal? Mas, é um ângulo grande até, não costumamos usar a aproximação em casos como esse.
Quando essa aproximação fica bem bem legal mesmo 😊
É isso pessoal, obrigado pela atenção e até a próxima 😉
Resposta
Resposta no texto.