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Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Exercício 141234567891011121315161718

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1, Questão 1.6d

d. Avalie e 0,25 com erro inferior a 2 - 18 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular e 0,25 com erro inferior a 2 - 18 , para isso vamos utilizar o resultado do item anterior com x = 0,5 :

E n = | e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) !  

Então,

e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ! ≤ 2 - 18

Vamos encontrar o menor valor de n que atende essa condição. Vamos lá!

Passo 2

Temos que:

e x 2 < 3

para x < 1 . Assim,

3 ( 0,5 2 ( n + 1 ) ) ( n + 1 ) ! ≤ 2 - 18 .

Reorganizando

3 2 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ! ≤ 2 - 18 .

Testando alguns valores de n , chegamos que o menor valor que atende essa condição é n = 5 :

3 2 2 ( 5 + 1 ) ( 5 + 1 ) ! = 1 0 - 6 ≤   2 - 18 = ( 3,8   ) 1 0 - 6 .

Passo 3

Tomando a expansão para n = 5 e x = 0,5 :

e 0,25 ≃ (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   + x 8 4 !   + x 10 5 ! ) = (   1   +   1 2 2   + 1 2 5   + 1 ( 3 ) 2 7   + 1 ( 3 ) 2 11   + 1 ( 15 ) 2 13 )

e 0,25 ≃ ( 15 ) 2 13 + ( 15 ) 2 11 + ( 15 ) 2 8 + ( 5 ) 2 6 + ( 5 ) 2 2 + 1 ( 15 ) 2 13 =   15778 122880 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Para n = 5 , e 0,25 ≃   15778 122880 .

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