USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.10b
Sejam uma função infinitamente derivável, um número real fixado e, para cada o polinômio de Taylor de ordem de em torno de . Seja ainda o erro cometido na aproximação de por . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Para todo temos
.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos aqui uma função definida tal que , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor , podemos escrever para cada , um polinômio de Taylor , em que é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de . Também podemos definir o erro da aproximação como
Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira
Para todo temos
.
Vamos verificar a afirmação acima! E, para isso, vamos usar o formato explícito de um polinômio de Taylor como
Bora lá!
Passo 2
Usando a definição do polinômio de Taylor na definição de erro, temos que
e, também que
Fazendo a diferença das expressões acima temos que
se expandirmos o termo de no segundo somatório temos que
ou seja, temos que
Note então que a afirmação é falsa!!! Note que se o termo
e
então teremos que
ou seja, o erro aumentou já que
Bora para a próxima!
Resposta
Falsa!