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Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Exercício 412356789101112131415161718

Enunciado

Tag 1, Tag 2, Tag 3, Tag 4

a ) Seja n ≥ 1 um inteiro. Determine P n ( x ) o Polinômio de Taylor de ordem n de f x = e 2 x em torno do ponto x = 0 . Obtenha uma expressão para o erro de E n x = f x - P n x , em que x   ∈   R .

Passo 1

Vamos substituir os valores das derivadas até a derivada de grau n , e achamos cada termo do polinômio de Taylor de grau n :

P n x = f 0 + f ' 0 x - 0 1 1 ! + f ' ' 0 x - 0 2 2 ! + ⋯ + f ( n ) 0 x - 0 n n !

P n x = 1 + 2 x + 4 x 2 2 ! + ⋯ + 2 n x n n ! = ∑ i = 0 n 2 x i ! i

Passo 2

Para o erro temos que ir um termo além, nesse exemplo ele quer um polinômio de grau n então, para calcular o erro vamos achar a n + 1 ª derivada?

f ( n + 1 ) x = 2 n + 1 e 2 x

Agora achamos essa derivada num ponto x = c com 0 < c < x .

f ( n + 1 ) c = 2 n + 1 e 2 c

Passo 3

Depois achamos o termo:

f ( n + 1 ) c x - x 0 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ! = 2 n + 1 e 2 c x ( n + 1 ) ( n + 1 ) !

Esse vai ser o erro:

E x = 2 n + 1 e 2 c x ( n + 1 ) ( n + 1 ) !

Resposta

P n x = 1 + 2 x + 4 x 2 2 ! + ⋯ + 2 n x n n ! = ∑ i = 0 n 2 x i ! i

E x = 2 n + 1 e 2 c x ( n + 1 ) ( n + 1 ) !

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Calcule um valor aproximado e avalie o erro.root(5)(32,002)
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sen 0,02