Use o polinômio de Taylor da função em torno de , de menor grau possível, para obter uma aproximação de com erro inferior a
Passo 1
Bem, exercício confuso, neh? Veja só a gente quer encontrar um polinômio de Taylor para o seno próximo ao ponto , mas que ainda próximo ao ponto ela possua um erro de .
Por que queremos a construção do polinômio ao redor e não de ?
Bem, pois pense comigo: O problema quer que usemos o polinômio em seguida para referenciar o erro na ordem de . Então não faria sentido calcular o polinômio em torno de , pois se não teria erro, saca?
A expressão desse erro é sempre dada por:
Logo, substituindo o e o (referência do erro escolhido)...
Passo 2
Para saber até que ordem vamos aproximar, vamos determinar o erro.
Para evitar fadiga, antecipamos que:
Que tem valor máximo . Então consideremos já que é o valor máximo assumido, pois assim vamos encontrar o maior erro nessas condições, saca?
Para o valor que estamos queremos aproximar:
Então, aproximação por ordem é interessante!
Passo 3
Para aproximar, vamos calcular cada uma das derivadas, o que é bem simples:
Assim, o polinômio de Taylor será:
Logo, a aproximação de será:
E essa aproximação, possui um erro menor que !