Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

ME04) Deseja-se estimar o valor de 1 e com erro inferior a 2 ∙ 10 - 4 . Use um polinômio de Taylor da função f x = e - x em torno de x o = 0 e seu resto de Lagrange. Sabendo que 2 ≤ e ≤ 3 , assinale a alternativa correspondente ao menor grau de um tal polinômio que se pode garantir com esses elementos.

  1. 8
  2. 5
  3. 9
  4. 6
  5. 7

Passo 1

Bora lá. Essa questão já é bem direto ao ponto: pede para usarmos o resto de Lagrange. Sendo ele definido por:

E n x = f n + 1 c   x - x 0 n + 1 n + 1 !

c   ∈ x , x 0

Podemos preencher com o que sabemos e simplificar um pouco. Veja bem, como queremos uma estimativa para 1 e , queremos então um valor aproximado de f 1 onde f x = e - x . Sendo assim, temos:

x = 1

E como o polinômio de Taylor é centrado em x o = 0 , chegamos à:

0 < c < 1

Substituindo esses valores na fórmula do erro, temos:

E n 1 = f n + 1 c   1 - 0 n + 1 n + 1 ! = f n + 1 c   n + 1 !

Agora veja bem, como a função é:

f x = e - x

Se derivarmos essa função várias vezes, mais especificamente n + 1 vezes, vamos ver que um sinal de - 1 vai aparecer e sumir, saca só:

f ' x = - e - x

f ' ' x = e - x

f ' ' ' x = - e - x

f 4 = e - x

Como o erro é em módulo, nem precisamos nos preocupar com o sinal, só deixar ele pra lá. Então vamos manter o que é constante em cada derivada dessas: e - x ! Fechamos a expressão do erro, que vai ser:

E n 1 = e - c   n + 1 !

Passo 2

Agora, bora ver as estimativas inferiores e superiores. Lembra que c   ∈ x , x 0 ? Como já sabemos quem é quem aí, podemos afirmar que:

0 < c < 1

Como a função exponencial é estritamente crescente, podemos afirmar também que

e 0 < e c < e 1

Mas não é bem a exponencial que a gente quer, não é mesmo? Queremos sua inversa. Então pra inverter, temos que trocar quem está nas pontas da inequação. Ficamos com:

e - 1 < e - c < e 0

e - 1 < e - c < 1

E pra fechar a manipulação dessa inequação, vamos multiplicar todo mundo pelo termo:

1   n + 1 !

Que, note, é sempre positivo! Então não vamos precisar trocar pontas de novo. A inequação vai ficar:

1   n + 1 !

e - 1   n + 1 ! < e - c   n + 1 ! < 1   n + 1 !

E olha só! Não é que a expressão do erro apareceu no meio? Reescrevemos para:

e - 1   n + 1 ! < E n 1 < 1   n + 1 !

Não acabou ainda. Porque como queremos estimar o erro de uma aproximação exponencial, aparecer outra exponencial não nos ajuda muito. No entanto, nós sabemos que

2 < e < 3

Invertendo os dois lados, temos:

1 3 < e - 1 < 1 2

E multiplicando por:

1   n + 1 !

Ficamos com:

1 3 n + 1 ! < e - 1   n + 1 ! < 1 2 n + 1 !

Juntando as duas inequação:

e - 1   n + 1 ! < E n 1 < 1   n + 1 !

1 3 n + 1 ! < e - 1   n + 1 ! < 1 2 n + 1 !

Ficamos com:

1   3 n + 1 ! < E n 1 < 1   n + 1 !

Passo 3

Show, agora vamos reler o enunciado pra traduzir nossas contas pra uma resposta. Queremos um valor de n que torne o erro inferior à 2 ∙ 10 - 4 . Como o erro está:

1   3 n + 1 ! < E n 1 < 1   n + 1 !

O maior valor do intervalo em que ele se encontra vai ser:

1   n + 1 !

Se esse valor for menor que o erro mínimo, então com certeza absoluta o erro será menor também. Portanto, devemos fazer:

1   n + 1 ! < 2 ∙ 10 - 4

Agora é só substituir. Vamos começar com n = 5 uma vez que não tem n menor nas opções. Vamos ter:

1   5 + 1 ! < 2 ∙ 10 - 4

1   6 ! < 2 ∙ 10 - 4

1   720 < 2 ∙ 10 - 4

1,3 8 - ∙ 10 - 3 < 2 ∙ 10 - 4

Como essa inequação é falsa, n = 5 não pode ser nossa resposta. Vamos tentar o próximo n do enunciado, que é n = 6

1   6 + 1 ! < 2 ∙ 10 - 4

1   7 ! < 2 ∙ 10 - 4

1   5040 < 2 ∙ 10 - 4

1,98 ∙ 10 - 4 < 2 ∙ 10 - 4

Opa, agora a inequação é verdadeira! Veja que se eu escolher qualquer n > 6 a inequação vai continuar verdadeira pois o denominador de 1   n + 1 ! Vai ficar cada vez maior. De fato, n = 6 é o menor grau do polinômio de Taylor que garante erro menor que 2 ∙ 10 - 4

Resposta

L e t r a   D

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Calcule um valor aproximado e avalie o erro.root(5)(32,002)
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sen 0,02