ME04) Deseja-se estimar o valor de com erro inferior a . Use um polinômio de Taylor da função em torno de e seu resto de Lagrange. Sabendo que , assinale a alternativa correspondente ao menor grau de um tal polinômio que se pode garantir com esses elementos.
Passo 1
Bora lá. Essa questão já é bem direto ao ponto: pede para usarmos o resto de Lagrange. Sendo ele definido por:
Podemos preencher com o que sabemos e simplificar um pouco. Veja bem, como queremos uma estimativa para , queremos então um valor aproximado de onde . Sendo assim, temos:
E como o polinômio de Taylor é centrado em , chegamos à:
Substituindo esses valores na fórmula do erro, temos:
Agora veja bem, como a função é:
Se derivarmos essa função várias vezes, mais especificamente vezes, vamos ver que um sinal de vai aparecer e sumir, saca só:
Como o erro é em módulo, nem precisamos nos preocupar com o sinal, só deixar ele pra lá. Então vamos manter o que é constante em cada derivada dessas: ! Fechamos a expressão do erro, que vai ser:
Passo 2
Agora, bora ver as estimativas inferiores e superiores. Lembra que ? Como já sabemos quem é quem aí, podemos afirmar que:
Como a função exponencial é estritamente crescente, podemos afirmar também que
Mas não é bem a exponencial que a gente quer, não é mesmo? Queremos sua inversa. Então pra inverter, temos que trocar quem está nas pontas da inequação. Ficamos com:
E pra fechar a manipulação dessa inequação, vamos multiplicar todo mundo pelo termo:
Que, note, é sempre positivo! Então não vamos precisar trocar pontas de novo. A inequação vai ficar:
E olha só! Não é que a expressão do erro apareceu no meio? Reescrevemos para:
Não acabou ainda. Porque como queremos estimar o erro de uma aproximação exponencial, aparecer outra exponencial não nos ajuda muito. No entanto, nós sabemos que
Invertendo os dois lados, temos:
E multiplicando por:
Ficamos com:
Juntando as duas inequação:
Ficamos com:
Passo 3
Show, agora vamos reler o enunciado pra traduzir nossas contas pra uma resposta. Queremos um valor de que torne o erro inferior à . Como o erro está:
O maior valor do intervalo em que ele se encontra vai ser:
Se esse valor for menor que o erro mínimo, então com certeza absoluta o erro será menor também. Portanto, devemos fazer:
Agora é só substituir. Vamos começar com uma vez que não tem menor nas opções. Vamos ter:
Como essa inequação é falsa, não pode ser nossa resposta. Vamos tentar o próximo do enunciado, que é
Opa, agora a inequação é verdadeira! Veja que se eu escolher qualquer a inequação vai continuar verdadeira pois o denominador de Vai ficar cada vez maior. De fato, é o menor grau do polinômio de Taylor que garante erro menor que