USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.10a
Sejam uma função infinitamente derivável, um número real fixado e, para cada o polinômio de Taylor de ordem de em torno de . Seja ainda o erro cometido na aproximação de por . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é o único polinômio que satisfaz.
.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos aqui uma função definida tal que , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor , podemos escrever para cada , um polinômio de Taylor , em que é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de . Também podemos definir o erro da aproximação como
Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira
é o único polinômio que satisfaz.
.
Vamos verificar a afirmação acima! E, para isso, vamos usar o formato explícito de um polinômio de Taylor como
Bora lá!
Passo 2
Usando a definição do polinômio de Taylor em nosso limite temos que
se separarmos o -ésimo termo na soma, temos que
Ou seja, precisamos mostrar que
como o segundo termo independe de , temos que
Será que esta afirmação é verdadeira? Vamos tentar demonstrar!
Passo 3
Primeiro vamos definir a seguinte função
e, também que
O segredo está em verificar que os coeficientes de Taylor da função são da forma
contanto que mantenhamos . E, uma vez que podemos derivar vezes a função para obter
no numerador podemos identificar que
se ficar difícil visualizar vai testando para valores pequenos de !! Essas relações vão nos ajudar bastante! Vem comigo!
Passo 4
As relações obtidas anteriormente nos garantem que
e, assim por diante até que
e, como temos que
de forma que é possível aplicar a regra de L’Hospital vezes sobre o limite
que lembrando a definição de derivada nos diz exatamente que
Ou seja, podemos garantir que
A alternativa é verdadeira! Vamos para a próxima!
Resposta
Verdadeira!