Seja , com

Determine o polinômio de Taylor de ordem de em torno do ponto .

Usando o item , calcule um valor aproximado para e para . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que .

Agora temos que achar cada termo da função:

O polinômio vai ficar:

Vamos agora ao valor de . Repare que , quando

Então queremos o polinômio em e não em . Fique atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar. Então, vamos fazer:

Vamos agora ao valor de . Repare que quando .

Então queremos o polinômio em e não em :

Vamos calcular o erro possível para isso agora. Primeiro vamos achar o termo do erro. Como temos um polinômio de grau o erro vai ser o termo de ordem :

Para entre e , vamos começar achando a derivada de :

Vamos tomar essa derivada em :

O erro vai ficar:

Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos. Primeiro para :

Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:

Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar:

Vamos pegar aqui apenas o valor maior que é o que nos interessa. Saber que o erro é maior que algo não é tão útil assim.

Multiplicando por :

Como queremos que apareça vamos fazer:

Vamos ter:

Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos. Primeiro para :

Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:

Isso acontece porque temos um valor negativo de :

Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente, a ordem vai mudar:

Vamos pegar aqui apenas o valor maior, que é o que nos interessa.

Queremos um número nessa bagunça ,então repare que:

Então, vamos ter:

Nós queremos um número, porque é mais fácil fazer essas contas com um número. A parada aqui é ir vendo coisas em comum. O objetivo é tentar chegar no bendito .

Multiplicando por :

Como vimos antes, vamos fazer:

Então:

Como queremos que apareça vamos fazer:

Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira: