Sejam f: R → R uma função infinitamente derivável, a um número real fixado e, para cada n ≥ 1, P_n o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x_0 = a . Seja ainda E_n(x) = f(x) - P_n(x) o erro cometido na aproximação de f(x) por P_n(x) . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.

d Se | f(n + 1)(x)(x - a)^(n + 1) | ≤ 1 , para todo x ∈ R , então

| E_n(x) | ≤ 1 / (n + 1)! , ∀ x ∈ R .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui uma função definida tal que f : ℝ → ℝ , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor a ∈ ℝ , podemos escrever para cada n ≥ 1 , um polinômio de Taylor P n , em que n é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de x 0 = a . Também podemos definir o erro da aproximação como

E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x )

Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira

( d )   Se | f ( n + 1 ) ( x ) ( x - a ) n + 1 | ≤ 1 , para todo x ∈ ℝ , então

| E n ( x ) | ≤ 1 ( n + 1 ) ! , ∀ x ∈ ℝ

Vamos usar a desigualdade dada e analisar o seguinte teorema do Resto de Lagrange

| E n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x - a | ( n + 1 )

quando temos que | f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M . Bora lá!

Passo 2

Note que a nossa condição é da forma

| f ( n + 1 ) ( x ) ( x - a ) n + 1 | ≤ 1

Como temos que | ( x - a ) n + 1 | > 0 , se x ≠ a , obtemos

| f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ 1 | ( x - a ) n + 1 |

de forma que podemos identificar no teorema que

M = 1 | ( x - a ) n + 1 |

E, portanto, o erro é da forma

| E n ( x ) | ≤ 1 ( n + 1 ) ! 1 | ( x - a ) n + 1 | | x - a | ( n + 1 ) = 1 ( n + 1 ) !

já que o expoente pode sair tranquilamente do módulo! Ou seja, a alternativa é verdadeira! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Verdadeira!

Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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