USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.10d
Sejam uma função infinitamente derivável, um número real fixado e, para cada o polinômio de Taylor de ordem de em torno de . Seja ainda o erro cometido na aproximação de por . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se , para todo , então
.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos aqui uma função definida tal que , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor , podemos escrever para cada , um polinômio de Taylor , em que é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de . Também podemos definir o erro da aproximação como
Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira
Se , para todo , então
Vamos usar a desigualdade dada e analisar o seguinte teorema do Resto de Lagrange
quando temos que . Bora lá!
Passo 2
Note que a nossa condição é da forma
Como temos que , se , obtemos
de forma que podemos identificar no teorema que
E, portanto, o erro é da forma
já que o expoente pode sair tranquilamente do módulo! Ou seja, a alternativa é verdadeira! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Verdadeira!