Sejam f : ℝ → ℝ uma função infinitamente derivável, a um número real fixado e, para cada n ≥ 1 ,   P n o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x 0 = a . Seja ainda E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x ) o erro cometido na aproximação de f ( x ) por P n ( x ) . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.

( c )   Se 1 ≤ k ≤ n , então f ( k ) ( a ) = P n ( k ) ( a ) .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui uma função definida tal que f : ℝ → ℝ , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor a ∈ ℝ , podemos escrever para cada n ≥ 1 , um polinômio de Taylor P n , em que n é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de x 0 = a . Também podemos definir o erro da aproximação como

E n ( x ) = f ( x ) - P n ( x )

Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira

( c )   Se 1 ≤ k ≤ n , então f ( k ) ( a ) = P n ( k ) ( a ) .

Vamos usar a definição de um polinômio de Taylor como

P n ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x - a ) k

e tentar verificar essa afirmação! Vem comigo!

Passo 2

Se expandirmos a definição do polinômio de Taylor temos que

P n ( x ) = f ( a ) + f ( 1 ) ( a ) ( x - a ) + 1 2 f ( 2 ) ( a ) ( x - a ) 2 + . . . + 1 k ! f ( k ) ( a ) ( x - a ) k

se derivarmos uma vez, temos que

P n ( 1 ) ( x ) = f ( 1 ) ( a ) + f ( 2 ) ( a ) ( x - a ) + . . + 1 ( k - 1 ) ! f ( k ) ( a ) ( x - a ) k - 1

se derivarmos novamente, temos que

P n ( 2 ) ( x ) = f ( 2 ) ( a ) + . . . + 1 ( k - 2 ) ! f ( k ) ( a ) ( x - a ) k - 2

ou seja… se derivarmos k -vezes, temos que

P n ( k ) ( x ) = 1 ( k - k ) ! f ( k ) ( a ) ( x - a ) k - k

como temos que

( k - k ) ! = 0 ! = 0

e, também que

( x - a ) k - k = ( x - a ) 0 = 1

podemos garantir que

P n ( k ) ( x ) = f ( k ) ( a )

contanto que 0 ≤ k ≤ n . Ou seja, a alternativa é verdadeira! Vamos para a última agora!

Resposta

Verdadeira!

Exercícios Resolvidos de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

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Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = 4,1
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.root(5)(32,002)
Calcule um valor aproximado e avalie o erro.sen 0,02