USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.10c
Sejam uma função infinitamente derivável, um número real fixado e, para cada o polinômio de Taylor de ordem de em torno de . Seja ainda o erro cometido na aproximação de por . Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Se , então .
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Temos aqui uma função definida tal que , que pode ser derivada infinitamente, de forma que fixando um valor , podemos escrever para cada , um polinômio de Taylor , em que é a ordem do polinômio, e o mesmo é escrito em torno de . Também podemos definir o erro da aproximação como
Precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira
Se , então .
Vamos usar a definição de um polinômio de Taylor como
e tentar verificar essa afirmação! Vem comigo!
Passo 2
Se expandirmos a definição do polinômio de Taylor temos que
se derivarmos uma vez, temos que
se derivarmos novamente, temos que
ou seja… se derivarmos -vezes, temos que
como temos que
e, também que
podemos garantir que
contanto que . Ou seja, a alternativa é verdadeira! Vamos para a última agora!
Resposta
Verdadeira!