Seja .

1. Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de em torno de ;
2. Usando (a), calcule e estime o erro;
3. Determine o polinômio de Taylor de grau 14 de em torno de . (Sugestão: use o polinômio de Taylor de .)

Segunda derivada:

Pelas regra do quociente e da cadeia, a terceira derivada é:

Botando em evidência:

Vamos passar a quarta marcha! De novo, regra do quociente e da cadeia:

Botando em evidência:

Bora que já passou da metade:

Botando em evidência:

[inserir frase motivacional aqui]:

Botando em evidência:

Só falta uma!

É sempre a mesma coisa...botando o em evidência:

Repare que dá pra fatorar por 3 o numerador, aí fica:

Aeeeeeeeee!!

Uma observação importante: em as derivadas pares de valem todas zero:

Por outro lado, as derivadas ímpares, de ordem , são iguais a :

Mais precisamente:

Assumindo que esse padrão é válido, podemos calcular qualquer derivada de em zero, por exemplo:

Enfim, vamos ao que interessa, que é o polinômio de Taylor:

Eliminando as derivadas pares e substituindo as derivadas ímpares por seus respectivos valores:

E isso fica facinho de calcular sem calculadora se aproveitarmos que:

Saca só:

Pronto, esse é o polinômio de Taylor de grau 7 da função arco tangente! Até que enfim! :)

(b)

Usando o nosso lindo polinômio, temos que:

Agora temos que calcular o erro, que é dado pela fórmula:

Onde é o grau do polinômio centrado em , e é um valor entre e .

Ou seja, no nosso caso:

Opa opa, e essa derivada oitava aí?

É meu amigo.... Até sabemos que mas isso não basta, vamos ter que calcular essa derivada mesmo, sinto muito...

Simbora! Afinal o que é uma derivada pra quem já calculou 7?

Lembrando que:

Temos que:

Como sempre, botamos o em evidência:

Fatorando por 56 (nunca achei que fosse escrever isso um dia rs):

Ok, voltando ao nosso erro:

O problema é esse , que pode ser qualquer valor entre e . Então o certo a fazer seria achar tal que seja máxima, assim com esse teríamos

E pra achar o ponto de máximo de entre e temos que fazer o quê? Derivar! No ponto de máximo a derivada nona vale zero!

Mas calma aí Pelé, por mais sádico que seja o professor que elaborou essa questão duvido muito que ele queria que ela fosse resolvida assim. Isso porque as contas seriam absurdas, elas envolveriam resolver uma equação de grau 8.

Então não precisamos mais derivar, ok?

Em vez disso vamos fazer o seguinte: calcular e daí estimar mais ou menos o valor de . Temos que

Assim dá pra ter uma noção das ordens de grandeza, sacou?

Então vamos chutar por exemplo:

Assim:

Estamos no campo da especulação né, então pra resposta final vamos dizer que:

(c)

Ok, essa letra (c) está me fazendo questionar o que falei antes sobre o nível de sadismo do professor que elaborou a questão.

Mas relaxa, pode ficar tranquilo que ninguém aqui vai calcular 14 derivadas de .

Pra essa letra vamos ter que usar um pulo do gato maroto. Temos:

Acompanhou?

Infelizmente, agora não tem como explicar direito, temos que aceitar a matemática... (melhor do que calcular 14 derivadas pelo menos)

Ela nos diz que o polinômio de grau 14 de é igual ao polinômio de grau 7 de tomado em . Deu pra seguir?

Sendo o polinômio de Taylor de grau 7 de :

Temos que o polinômio de grau 14 de é:

Portanto, o tal polinômio que queremos é:

Agora sim pode comemorar que acabou a questão!!