Polinômio de Taylor
Seja a função :
Determine o polinômio de Taylor de ordem de em torno do ponto , onde , e seu respectivo erro associado.
Usando o Item para , encontre o valor aproximado de e decida se o erro, em módulo, é inferior que .
Passo 1
Para determinar o polinômio de Taylor começamos achando todas as derivadas até a derivada terceira:
Em as derivadas valerão, portanto:
Passo 2
Agora a gente aplica a definição do polinômio de Taylor para cada parcela (grau e ):
Juntando todos os termos achamos o nosso :
Passo 3
Agora, sabemos que o Erro é menor ou igual à fórmula do polinômio de Taylor um grau acima do que aproximamos, ou seja:
Como temos:
Essa é a aproximação do erro máximo.
Passo 4
Agora o negócio é só aplicar o polinômio de Taylor para e buscar a aproximação para , ou seja, usando . Tudo se resume a fazer conta:
Essa é a hora de pedir uma ajudinha para a calculadora:
Agora a aproximação do erro:
No enunciado da letra era pedido para compararmos se o erro, em módulo, era menor que . Como o erro que achamos é como se fosse esse valor multiplicado por , cujo módulo é menor que , notamos que o erro será, de fato, inferior a .