Seja , com

Determine o polinômio de Taylor de ordem de em torno do ponto

Usando o item , calcule um valor aproximado para e para . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que .

Agora temos que achar cada termo da função

O polinômio vai ficar

Vamos agora ao valor de , repara que quando então queremos o polinômio em e não em fica atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar, então vamos fazer

Vamos agora ao valor de , repara que quando então queremos o polinômio em e não em fica atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar, então vamos fazer

Vamos calcular o erro possível para isso agora, primeiro vamos achar o termo do erro, como temos um polinômio de grau o erro vai ser o termo de ordem

Para entre e , vamos começar achando a derivada de

Vamos tomar essa derivada em

O erro vai ficar

Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos, primeiro para

Vamos analisar esse erro, repara que vamos ter

Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar

Vamos pegar aqui apensa o valor maior que é o que nos interessa, saber que o erro é maior que alguém não é tão útil assim.

Multiplicando por

Como queremos que apareça vamos fazer

Vamos ter

Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos, primeiro para

Vamos analisar esse erro, repara que vamos ter

Isso acontece porque temos um valor negativo de

Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar

Vamos pegar aqui apensa o valor maior que é o que nos interessa, saber que o erro é maior que alguém não é tão útil assim.

Queremos um número nessa bagunça então repara que

Então vamos ter

Nos queremos um número porque é mais fácil fazer essas contas com um número, a parada aqui é ir vendo coisas em comum, o objetivo é tentar chegar no bendito .

Multiplicando por

Como vimos antes vamos fazer

Então

Como queremos que apareça vamos fazer

Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira