UFRJ, Física 2, Provas Antigas, P1, 2022.2, Questão 3
Um tubo em contém inicialmente uma certa quantidade de um fluido de densidade e tem dois ramos abertos para a atmosfera (pressão ). Veda-se um dos ramos e acrescenta-se mais fluido no outro que continua aberto. Após a estabilização o desnível do fluido entre os dois lados vale . Suponha que não existe transferência de calor entre o fluido e o ar, que a parede do tubo é adiabática e que a compressão do ar é quase estática. Determine a razão entre o volume final e o inicial do ar armazenado do lado que foi vedado. Considere que o ar é um gás ideal e o calor específico molar a volume constante do ar como .
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Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a razão entre o volume final e o volume inicial do ar armazenado em um tubo em , que foi vedado apenas em um dos lados. Como não existe transferência de calor entre o fluido e o ar que estão no tubo, nosso processo é adiabático.
Dessa forma, em um dos lados do tubo, nós temos um fluido sujeito a pressão atmosférica e a pressão manométrica, que é definida como (onde é a densidade do fluido, é constante gravitacional e a altura do desnível entre os lados do tubo). Ou seja:
Mas lembra do princípio de Pascal? Ele nos diz que a pressão aplicada em um ponto de um fluido em repouso, se transmite integralmente a todos os pontos do fluido. Então, a gente pode considerar a equação para os dois lados do tubo.
Além disso, como nosso processo é adiabático, por definição, ele pode ser descrito pela equação:
Onde e são as pressões inicial e final, e os volumes inicial e final, e é a relação entre os calores específicos molar a pressão constante () e a volume constante (). Então, nós vamos usar essa equação para encontrar a relação entre os volumes, considerando a pressão em cada ponto do fluido.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar manipulando nossa equação para processos adiabáticos:
Isolando , temos:
Elevando cada termo da equação a , temos:
Dividindo os dois lados por , temos a relação entre os volumes:
Passo 3
Agora nós podemos chamar a pressão inicial de , que é a pressão atmosférica. E a pressão final, como definimos no passo , vai ser dada por . Assim, vamos obter:
Mas lembra que ? E , onde é a constante universal dos gases. O enunciado nos deu , então temos:
Logo,
Substituindo esse valor na equação da relação entre os volumes, temos:
Que é a nossa alternativa .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉