P1 de Álgebra Linear da UFRJ - 2015.2.1

Seja e seja a imagem de . Assinale a alternativa verdadeira:

é base de .

é base de .

é gerado por , e .

é gerado por e .

Sejam e . Defina (interseção do núcleo de com o núcleo de ). A dimensão de é:

O vetor pode ser expresso como O coeficiente vale:

Seja o conjunto dos polinômios da forma que satisfazem . A dimensão de é:

não está definida, pois não é subespaço.

Sejam e duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, . Pode-se afirmar que:

O conjunto das linhas de é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de é linearmente dependente.

O conjunto das colunas de é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de é linearmente dependente.

ou

Considere as afirmativas:

1. tem solução única se e só se as colunas de são linearmente independentes.
2. tem solução para todo se e só se as linhas de são linearmente independentes.

e são verdadeiras.

e são falsas.

é verdadeira, mas é falsa.

é falsa, mas é verdadeira.

Considere a matriz , cujas linhas são . É dado que uma forma escalonada de é:

Qual dos seguintes conjuntos gera ? (Abaixo, indica o vetor , cuja única entrada não-nula é a -ésima.)

Deseja-se encontrar o polinômio da forma cujo gráfico passe pelos pontos e . O vetor de coeficientes :

não pode ser calculado pela solução de um sistema linear, pois trata-se de um problema quadrático.

é solução do sistema linear representado por

é solução do sistema linear representado por

é solução do sistema linear representado por

Seja o conjunto das matrizes tais que , onde . Seja . Considere as seguintes afirmações:

1. Se , então .
2. é um subespaço vetorial de

e são falsas.

é verdadeira, é falsa.

e são verdadeiras.

é falsa, é verdadeira.

Qual conjunto abaixo pode ser uma base para a imagem de uma matriz ?

Um conjunto de vetores em

Um conjunto de vetores em

Um conjunto de vetores em

Um conjunto de vetores em

Seja o conjunto dos pares ordenados de números reais munido da soma usual. Considere as seguintes operações de produto por um escalar :

Quais das opções abaixo é verdadeira?

não é um espaço vetorial.

não é um espaço vetorial.

o produto é distributivo com relação à soma de escalares.

o produto não é distributivo com relação à soma vetorial.

Qual das expressões abaixo NÃO REPRESENTA a solução geral do sistema:

Seja uma matriz . Deseja-se construir uma matriz de forma que o produto seja uma matriz satisfazendo:

A primeira coluna de é igual a soma das colunas de ;

A segunda coluna de é igual à diferença entre as colunas de ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz ?

Sejam uma matriz e a sua forma escalonada. Considere as seguintes afirmativas:

1. As colunas de são combinações lineares das colunas de .
2. As linhas de são combinações lineares das linhas de .

é falsa, é verdadeira.

e são verdadeiras.

é verdadeira, é falsa.

e são falsas.

Seja uma matriz , com , tal que a dimensão da imagem de é igual a .

1. nem sempre tem solução.
2. Quando tem solução, a solução não é única.

e são verdadeiras.

é falsa, mas é verdadeira.

e são falsas.

é verdadeira, mas é falsa.