Exercícios Resolvidos de Escalonamento

Ver Teoria

Enunciado

Considere a matriz A 5 × 5 , cujas linhas são v → 1 , v → 2 , … , v → 5 . É dado que uma forma escalonada de A é:

A ~ 0 1 4 7 9 0 0 4 5 6 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Qual dos seguintes conjuntos gera R 5 ? (Abaixo, e → j indica o vetor 0 , … , 0,1 , 0 , … , 0 , cuja única entrada não-nula é a j -ésima.)

( a ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 1 , e → 2

( b ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5

( c ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 2 , e → 3 , e → 4

( d ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 1 , e → 5

Passo 1

Bom, dá pra resolver o exercício tranquilamente com o que foi dado, mas vamos escalonar completamente a matriz A pra ficar mais fácil ainda:

0 1 4 7 9 0 0 4 5 6 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → L 2 ← L 2 - 2 L 3 L 1 ← L 1 - 3 L 3 0 1 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → L 1 ← L 1 - L 2 0 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ta, pra gerar o R 5 precisamos de 5 vetores L I e no conjunto v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 temos apenas 3 vetores L I pela matriz escalonada. Isso quer dizer que precisamos de pelo menos mais 2 vetores L I . Isso já elimina a b .

Passo 2

Também podemos ver que nenhum vetor tem a primeira coordenada não nula, então o e → 1 = 1,0 , 0,0 , 0 tem que entrar no nosso conjunto gerador do R 5 . Afinal, se não conseguíssemos gerar vetores que possuem a primeira coordenada diferente de 0 já não estaríamos gerando o R 5 inteiro haha. Isso elimina a c .

Passo 3

Como eu falei ali em cima precisamos de mais 2 vetores L I para gerar o R 5 inteiro. Bom, as duas letras que sobraram acrescentam 2 vetores, resta ver qual o L I haha.

Além do e → 1 que sabemos que é necessário, a letra a também acrescenta o e → 2 . Mas repare na primeira linha da nossa matriz completamente escalonada! É exatamente o vetor e → 2 . Isso quer dizer que ele já podia ser gerado com nosso conjunto inicial v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 então ele não serve pra gente!

Logo, a resposta é a d .

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0abc : a x + a y + c z = a ² + c ² ² ²b x - a y + c z = c ² - b ² ² ²a x + c y - b z = a ² - c ² ² ²
Responda à questão análoga à anterior com respeito à reação x F e S + y O 2 → z F e 2 O 3 + t S 0 3 (geração de dióxido de enxofre a partir da pirita)
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: c) x–2 y+z+t=1 2 x+y-2 z+2 t=0 x+6 y=- 2
Use escalonamento para mostrar que um sistema 3 × 3 cujas linhas ℓ1, ℓ2, ℓ3 são linearmente independentes possui uma única solução.
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: