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Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

A2 T4

Seja R 2 o conjunto dos pares ordenados de números reais munido da soma usual. Considere as seguintes operações de produto por um escalar k ∈ R :

k ∙ x , y = k x , k y ,   k * x , y = k 2 x , k 2 y

Quais das opções abaixo é verdadeira?

a   R , + , * não é um espaço vetorial.

b   R , + , ∙ não é um espaço vetorial.

c   o produto * é distributivo com relação à soma de escalares.

d   o produto * não é distributivo com relação à soma vetorial.

Passo 1

Bom, estamos usando a soma usual, então pelo lado da soma já sabemos que ele pode ser um espaço vetorial. Vamos ver esses produtos aí.

Po, o primeiro produto por escalar:

k ∙ x , y = k x , k y

É o produto por escalar usual do R 2 né? E sabemos que o R 2 com soma e produto por escalar usual é um espaço vetorial haha.

Passo 2

Vamos ver esse segundo:

k * x , y = k 2 x , k 2 y

Vamos testar os axiomas e ver no que dá! Lembrando que os axiomas que envolvem a soma serão satisfeitos pois estamos usando a soma usual.

  1. A soma é comutativa: v + u = u + v

    2. Envolve somente soma, então é satisfeito.

  2. A soma é associativa: v + u + w = v + ( u + w )

    3. Envolve somente soma, então é satisfeito.

  3. Elemento neutro da soma: ∃   0 ∈ V | ∀ v ∈ V , v + 0 = v

    4. Sim, o R 2 possui o elemento neutro da soma.

  4. Inverso aditivo: ∀ v ∈ V , ∃   w ∈ V | v + w = 0

    5. Só soma aí de novo, então sabemos que é verdade.

  5. Associativo: α β v = α β v

    6. Finalmente chegamos na multiplicação haha. Se liga:

    α β * x , y = α * β * x , y

    α β 2 x , α β 2 y = α 2 * β 2 x , β 2 y

    α 2 β 2 x , α 2 β 2 y = α 2 β 2 x , α 2 β 2 y

    Certinho, essa é satisfeita.

  6. Elemento Neutro da multiplicação: 1 ∙ v = v

    7. Multiplicação de novo, vamos ver:

    1 * x , y = 1 2 x , 1 2 y = x , y

    Também é satisfeita.

  7. α u + v = α u + α v

    8. Definindo u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 :

    α * u 1 , u 2 + v 1 , v 2 = α u 1 , u 2 + α v 1 , v 2

    α u 1 + v 1 , u 2 + v 2 = α 2 u 1 , α 2 u 2 + α 2 v 1 , α 2 v 2

    α 2 u 1 + v 1 , α 2 u 2 + v 2 = α 2 u 1 + α 2 v 1 , α 2 u 2 + α 2 v 2

    Novamente é satisfeita, vamos pro último axioma então

  8. α + β v = α v + β v

α + β x , y = α x , y + β x , y

Como a regra do produto é k * x , y = k 2 x , k 2 y

então

α + β 2 x , α + β 2 y = α 2 x , α 2 y + β 2 x , β 2 y

E assim,

α + β 2 x , α + β 2 y = α 2 + β 2 x , α 2 + β 2 y

Opa, isso aí ta dizendo que α + β 2 = α 2 + β 2 , e sabemos que isso não é verdade! Então ela falhou nesse último e não é um espaço vetorial.

Pela estrutura desse último axioma já dava pra perceber que ia dar algum problema aqui né haha, sempre que tiver um quadrado suspeite que alguma propriedade distributiva vai dar ruim. Claro que nem sempre dá, mas pode te poupar o trabalho de verificar uma a uma igual eu fiz.

Então nossa resposta é a a .

Resposta

Letra ( a )

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