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Exercícios Resolvidos de Coordenada

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Enunciado

A2 T5 T6

Seja H o conjunto dos polinômios da forma p x = a x 2 + b x + c que satisfazem p 2 = 2 p 1 . A dimensão de H é:

a   1

b   2

c   3

d   não está definida, pois H não é subespaço.

Passo 1

Vamos analisar o que sabemos desse conjunto. Ele tem polinômios dessa forma:

p 2 = 4 a + 2 b + c

p 1 = a + b + c

p 2 = 2 p 1

4 a + 2 b + c = 2 a + 2 b + 2 c

2 a - c = 0

2 a = c

Beleza, então são os polinômios que tem 2 a = c .

Bom, essa questão tem uma alternativa meio suspeita ali em baixo né. Vamos garantir que H é realmente um subespaço antes de partirmos pra calcular sua dimensão! Pra ser subespaço ele tem que ser fechado para a soma e para a multiplicação:

a 1 x 2 + b 1 x + 2 a 1 + a 2 x 2 + b 2 x + 2 a 2 = a 1 + a 2 ⏟ a x 2 + b 1 + b 2 x + 2 a 1 + 2 a 2 ⏟ c = 2 a

Então está fechado para soma. Agora para o produto:

λ a x 2 + b x + 2 a = λ a ⏟ a x 2 + λ b x + 2 λ a ⏟ c = 2 a

Fechado pra soma também xD. Vamos para a dimensão.

Passo 2

Sabemos que os polinômios de H tem essa forma:

p x = a x 2 + b x + 2 a

Se escrevermos isso em forma vetorial em função da base canônica 1 , x , x 2 temos:

a x 2 + b x + 2 a = 2 a , b , a = a 2,0 , 1 + b 0,1 , 0

Temos duas variáveis livres, então nosso espaço tem dimensão 2 ;)

Resposta

Letra ( b )

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