A2 T5, A1 T6
Seja o conjunto das matrizes tais que , onde . Seja . Considere as seguintes afirmações:
- Se , então .
- é um subespaço vetorial de
e são falsas.
é verdadeira, é falsa.
e são verdadeiras.
é falsa, é verdadeira.
Passo 1
Afirmativa .
Temos que:
E sabemos que:
Isso implica em . Logo, a afirmativa está correta.
Passo 2
Afirmativa :
Agora precisamos descobrir qual o termo geral do nosso conjunto . Temos que:
Logo, podemos escrever o termo geral de como:
Então precisamos verificar se é fechado para soma e para multiplicação por escalar e tem o vetor nulo para que ele seja um subespaço vetorial. Para ser fechado para soma, o resultado da soma de duas matrizes que pertencem a deve ser uma matriz que também pertença a . Vamos pegar duas matrizes de :
Agora somamos elas:
Vamos ver se está que obtemos faz parte de também:
Isso claramente não é verdade então não é fechado para soma e portanto não é um subespaço de .
Repare que provamos que a alternativa é falsa. Para isso bastou darmos um contra-exemplo. Se por acaso ela fosse verdadeira teríamos mais trabalho já que pra ter certeza disso íamos ter que testar com um elemento genérico, e não para um caso específico como fizemos.
Resposta
Letra