P3 de Álgebra Linear da UFRJ - 2019.2

Seja o sistema linear .

Considere as afirmativas:

1. Se é injetiva então possui solução e a solução é única
2. Se é sobrejetiva então possui solução e a solução é única.

1. I é falsa e II é verdadeira
2. I é verdadeira e II é falsa
3. I é falsa e II é falsa
4. I é verdadeira e II é verdadeira

Seja uma base ortogonal de . Considere e denote as coordenadas de com relação à base por . Então vale:

2. .
3. .
4. .

Sejam e matrizes quadradas.

Considere as afirmativas:

1. Se a dimensão do núcleo de é então é autovalor de .
2. Se é inversível então é autovalor de .

1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
2. (I) é falsa e (II) é falsa.
3. (I) é falsa (II) é verdadeira.
4. (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Seja o conjunto das combinações lineares dos vetores e que são ortogonais ao vetor .

1. não é um subespaço vetorial de .
2. é um subespaço vetorial de de dimensão .
3. é um subespaço vetorial de de dimensão .
4. é um subespaço vetorial de de dimensão .

Se os vetores e são ortogonais, então pode-se afirmar que:

1. e sã ortogonais.
2. e são ortogonais.
3. .

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

Considere as transformações lineares de em : , projeção ortogonal sobre o eixo ; , rotação de graus no sentido anti-horário em torno da origem e , rotação de graus no sentido horário em torno da origem. Seja .

Considere as afirmativas:

1. e são autovalores de .
2. e são autovetores de .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é falsa e (II) é falsa.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

O cosseno do ângulo entre e vale:

Sejam e autovalores de , uma matriz . Qual, dentre as condições abaixo, NÃO garante que a matriz é diagonalizável?

1. não possui inversa.
2. possui inversa.
3. .

(QUESTÃO EXTRA)

tem polinômio característico .

Considere as afirmativas:

2. é diagonalizável.

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é falsa.

A matriz possui autovetores e associados aos autovalores e , respectivamente.

Considere as afirmativas:

1. Estas informações determinam a 2º colunas de .
2. Estas informações determinam a coluna de .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

A equação da reta em paralela à direção do vetor e que passa pelo ponto é:

Seja . A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é:

Denote por o produto interno euclidiano de dois vetores e de .

Considere as afirmativas:

1. A transformação definida por é linear.
2. Seja . A transformação definida por

1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Sabemos que é uma projeção em um plano . Qual das opções abaixo é o polinômio característico de ?

2. –
4. .