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Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Exercício 9123456781011121314151617181920212223

Enunciado

UFRJ, P3-2019.2

Seja β = 2 ,   - 1 ,   3 ,   q → 1 ,   q → 2   uma base ortogonal de R 3 . Considere v → = 3 ,   1 ,   2 e denote as coordenadas de v → com relação à base β por v → β = a 1 ,   a 2 ,   a 3 . Então a 1 vale:

  1. 11 .
  2. 12 .
  3. 11 14 .
  4. 6 7 .

Passo 1

Belezera pessoal, queremos encontrar a primeira coordenada do vetor:

v → = 3 ,   1 ,   2

Escrito na base β , dada por:

β = 2 ,   - 1 ,   3 ,   q → 2 ,   q → 3  

Mas calma aí, porque para reescrever um vetor na base β devemos fazer ele como uma combinação dos vetores de β :

v → = a 1 2 ,   - 1 ,   3 + a 2 q → 2 + a 3   q → 3

Onde o vetor v → na base β é dado por:

v → β = a 1 ,   a 2 ,   a 3

Portanto, a primeira coordenada de v → β é a 1 .

Passo 2

Só que é ai que fica a sagacidades, porque essa constante a 1 multiplica apenas o primeiro vetor da base 2 ,   - 1 ,   3 , e o mais legal de tudo é que todos os outros vetores são ortogonais a ele. Então a gente pode usar de toda malandragem do mundo para isolar essa constante a 1 , aplicando o produto interno por 2 ,   - 1 ,   3 dos dois lados da igualdade, desse jeito:

v → = a 1 2 ,   - 1 ,   3 + a 2 q → 2 + a 3   q → 3

v → . 2 ,   - 1 ,   3 = a 1 2 ,   - 1 ,   3 + a 2 q → 2 + a 3   q → 3 . 2 ,   - 1 ,   3

Distribuindo esse produto interno, temos:

v → . 2 ,   - 1 ,   3 = a 1 2 ,   - 1 ,   3 . 2 ,   - 1 ,   3 + a 2 q → 2 . 2 ,   - 1 ,   3 + a 3   q → 3 . 2 ,   - 1 ,   3

E como os vetores são ortogonais, o produto interno entre eles é igual a 0 , tal que:

v → . 2 ,   - 1 ,   3 = a 1 2 ,   - 1 ,   3 . 2 ,   - 1 ,   3 + a 2 q → 2 . 2 ,   - 1 ,   3 ⏝ 0 + a 3   q → 3 . 2 ,   - 1 ,   3 ⏝ 0

v → . 2 ,   - 1 ,   3 = a 1 2 ,   - 1 ,   3 . 2 ,   - 1 ,   3

E como temos nosso vetor v → = 3 ,   1 ,   2 , a primeira coordenada na base β é:

3 ,   1 ,   2 . 2 ,   - 1 ,   3 = a 1 2 ,   - 1 ,   3 . 2 ,   - 1 ,   3

11 = 14 a 1

a = 11 14

Irado, então nossa resposta certa é a letra (c).

Resposta

Letra (c)

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