UFRJ, P3-2019.2
Seja o conjunto das combinações lineares dos vetores e que são ortogonais ao vetor .
- não é um subespaço vetorial de .
- é um subespaço vetorial de de dimensão .
- é um subespaço vetorial de de dimensão .
- é um subespaço vetorial de de dimensão .
Passo 1
Belezinha galerinha bonita, se é o conjunto de combinações lineares dos vetores e , quer dizer que podemos escrever esse espaço como:
Onde e são constantes quaisquer pertencentes aos reais, . Logo, podemos escrever o espaço como:
Passo 2
Iradoso, agora que a gente sabe a cara de , podemos usar a segunda informação que o enunciado nos deu, ele diz que o espaço é ortogonal ao vetor . Para um vetor ser ortogonal a outro, o produto interno entre eles deve ser igual a , isto é:
Ou melhor:
Resolvendo esse produto interno, vamos obter o seguinte:
Show de bolinhas, e como esse produto deve ser igual a , temos que:
Passo 3
Belezera, a gente acabou de ver que nossas constantes e que moldam o espaço:
São relacionadas como:
Tal que nosso espaço pode ser reescrito como:
E se a gente colocar em evidência, vamos ver que:
Ou seja, nosso espaço é dado como:
Portanto, temos apenas vetor com coordenadas na base de , isso quer dizer que é um subespaço vetorial de de dimensão . Resposta certa, letra (b).
Resposta
Letra (b)