UFRJ, P3-2019.2
Considere as transformações lineares de em : , projeção ortogonal sobre o eixo ; , rotação de graus no sentido anti-horário em torno da origem e , rotação de graus no sentido horário em torno da origem. Seja .
Considere as afirmativas:
- e são autovalores de .
- e são autovetores de .
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
Show de bolinhas meus amores, pra gente entender melhor a matriz e suas características, vamos encontrar as matrizes , e separadamente, e ai conseguiremos ver a cara de . Saca só, sobre , o enunciado diz que ela é uma projeção ortogonal sobre o eixo , ou seja, quando aplicamos a transformação em um vetor qualquer, tudo que está sobre o eixo vai permanecer sobre o eixo , MAAASS tudo que estiver no eixo (ortogonal a ) vai ser levado no eixo também, , logo:
Se a gente for representar na forma matricial, teremos:
Onde a matriz que se encaixa nessa transformação é , já que:
Passo 2
Iradoso, agora que já sabemos como é , bora ver como se comporta a matriz . O enunciado nos deu que ela é uma rotação de graus no sentido anti-horário. E nossa matriz que representa uma rotação de graus em tem a forma geral:
Como queremos rotacionar graus, temos que , logo:
Belezera, e fazendo a mesma coisa para , temos que logo:
Passo 3
Mec mais Mec que o Big Mac, então nossa matriz é dada por:
E resolvendo a multiplicação entre essas matrizes, vamos ter que:
Passo 4
Mas beleza então, dito isso, na afirmativa (I) precisamos verificar os autovalores da função. MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro mais uma vez, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de frações, podemos usar dois bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.
O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor
Saca só, na nossa matriz , se a gente somar as colunas, vamos ter que:
E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor .
**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).
Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir o outro. E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra é que:
A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores
Saca só, como a matriz é , vamos possuir dois autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de e . Logo a soma dos autovalores é:
Já para nossa matriz , a soma da diagonal principal é:
Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:
E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale, logo:
Portanto, nossa afirmativa (I) é verdadeira.
Passo 5
Já na afirmativa (II) ele diz que e . Então bora verificar nossos autovetores da matriz pra ver se eles realmente batem. Saca só, para encontrar o autoespaço associado a um autovalor , fazemos:
O núcleo dessa matriz , vai ser o nosso autoespaço. Logo para , temos:
Então na verdade queremos descobrir:
Escalona a segunda linha temos que:
Então na primeira linha, temos:
Portanto o autovetor associado a é dado por:
Só que na afirmativa (II), não cita em nenhum momento o autovetor . Portanto a afirmativa (II) é falsa. Resposta certa letra (c).
Resposta
Letra (c)