UFRJ, P3-2019.2
Sejam e matrizes quadradas.
Considere as afirmativas:
- Se a dimensão do núcleo de é então é autovalor de .
- Se é inversível então é autovalor de .
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é falsa (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
Passo 1
Belezoca pessoal, na afirmativa (I) ele jura com todas as forças que se a dimensão do núcleo de é , então é autovalor de . Show, mas pra gente descobrir os autovalores de uma matriz qualquer usamos a relação:
Logo, os valores de que satisfazem a igualdade serão os autovalores de . Só que o mais legal disso, é que toda matriz que possui o determinante igual a , possui a dimensão do núcleo DIFERENTE de , tal que:
Passo 2
Show de bola, mas na nossa afirmativa (I), ele diz que:
Ou melhor:
E se a dimensão do núcleo é nula, o determina será diferente de , isto é:
Portanto, NÃO PODE ser autovalor de Afirmativa (I) é falsa!
Passo 3
Já na segunda afirmativa ele diz que se é invertível, então é autovalor de . Então saca só, para uma matriz quadrada ser invertível, precisamos garantir que o núcleo tenha dimensão nula:
A dimensão do núcleo ser nula, implica que a solução do sistema homogêneo é única, isto é:
Com . MAAAASSS é ai que tá malandragem, porque quando ele diz que amariz possui o autovalor , quer dizer que:
Onde é o autovetor associado ao autovalor . Logo:
E isso atrapalha tudo, porque agora o autovetor , pertence ao núcleo de fazendo com que:
Fazendo com que nossa matriz seja impossível de inverter. Logo a afirmativa (II) também é falsa!! Resposta certa, letra (b)
Resposta
Letra (b)