Seja o sistema linear .

Considere as afirmativas:

1. Se é injetiva então possui solução e a solução é única
2. Se é sobrejetiva então possui solução e a solução é única.

1. I é falsa e II é verdadeira
2. I é verdadeira e II é falsa
3. I é falsa e II é falsa
4. I é verdadeira e II é verdadeira

Belezera galerinha, o enunciado deu pra gente o sistema linear , tal que:

E na primeira afirmativa ele quer saber se quando for injetiva, a solução de será única

Mas saca só, pra gente ter certeza que o sistema possui solução, temos que garantir que o vetor está na imagem de . Em outras palavras, temos que garantir que a imagem vai ocupar todo o contradomínio da função, não deixando nenhum vetor “fora” da imagem. Porque se caso houvesse esse vetor “fora” da imagem, não haveria solução para ele!! Ou seja, dada uma transformação , onde o contradomínio é , temos que:

E essa é EXATAMENTE a definição de uma função sobrejetiva, isso quer dizer que para garantirmos que uma função possua solução (sem saber se ela é única ou não) devemos verificar se a função é sobrejetiva. SÓ QUE nossa afirmativa I diz apenas que a função é injetiva, e para uma função ser injetiva é necessário que a dimensão do núcleo seja igual a , tal que:

Logo, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem com essas informações, temos que:

Isso quer dizer que para nosso sistema ser injetivo e ter solução única, seria necessário que . Então para qualquer caso em que , não seria possível essas duas condições coexistirem. Logo, não podemos dizer que nossa transformação possui solução, e quiçá dizer que ela é única! Portanto nossa afirmativa I é falsa.