UFRJ, P3-2019.2
Sejam e autovalores de , uma matriz . Qual, dentre as condições abaixo, NÃO garante que a matriz é diagonalizável?
- não possui inversa.
- possui inversa.
- .
Passo 1
Iradoso galerinha, pra gente garantir que uma matriz é diagonalizável, precisamos ter certeza que ela possui uma base de AUTOVETORES para , ou seja, para nossa matriz precisamos garantir que ela possui autovetores distintos, para que ela seja diagonalizável.
Só que o enunciado já nos deu dois autovalores, e , e como cada autovalor possui pelo menos autovetor associado (podendo ter mais de ), já temos a certeza que nossa matriz possui pelo menos autovetores. Então a informação que NÃO nos garantir a existência de mais um autovetor, será a alternativa correta.
Passo 2
Belezoca, na letra (a), ele diz que não possui inversa. Quando uma matriz quadrada não possui inversa, podemos garantir que:
E se o determinante da matriz é nulo, sempre vamos ter que a dimensão do núcleo da matriz é DIFERENTE de , tal que:
MAASS, se a dimensão do núcleo é diferente de , o sistema homogêneo da matriz , possui infinitas soluções, tal que:
Onde é um vetor diferente de , dessa forma é o autovetor associados ao autovalor :
Logo, o fato da matriz não possuir inversa, implica na existência do autovalor e em consequência disso temos a existência de um autovetor associado a ele. Portanto podemos completar nosso trio de autovetores para , e nossa matriz seria diagonalizável. Letra errada.
Passo 3
Já na letra (b), ele diz apenas que possui inversa. E nesse caso a dimensão do núcleo serio igual a , tal que:
O que não implica na existência do autovalor , e nem de nenhum outro autovalor. E a matriz ser invertível, também não interfere na dimensão dos autoespaços associados a e , ou seja, com essa iformação não conseguimos definir quantos autovetores nossa matriz possui. Logo ela é nossa famigerada resposta certa.
Passo 4
E só pra garantir, podemos testar as outras afirmativas. Pra calcularmos a dimensão do autoespaço da matriz associado a um autovalor usamos a relação:
Na letra (c), ele diz que:
Ou melhor:
Ou seja, o autoespaço associado ao autovalor possui dimensão dois, logo temos autovetores associados e somado com o autovetor associado , completamos o trio de autovetores necessários para diagonalizar a matriz.
Passo 5
Da mesma maneira, na letra (d), quando ele diz que , na verdade ele ta querendo dizer que a matriz possui o autovetor , e esse autovetor tem um autoespaço de dimensão , isto é, apenas autovetor associado. E somado com os outros autovetores de e formamos uma base para que garante a diagonalização de .
Resposta certa, letra (b)
Resposta
Letra (b)