Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Autovalores e Autovetores de uma TL

Ver Teoria
Exercício 59123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657586061626364656667

Enunciado

UFRJ, P3-2019.2

Sabemos que A : R 3 → R 3 é uma projeção em um plano Π ⊂ R 3 . Qual das opções abaixo é o polinômio característico p λ = det ⁡ A - λ I de A ?

  1. - λ 3 - 2 λ 2 - λ
  2. λ 3 + λ 2 - λ –
  3. - λ 3 - λ 2 - λ
  4. - λ 3 + 2 λ 2 - λ .

Passo 1

Show de bola galerinha, se A é uma projeção ortogonal sobre um plano, quer dizer que o vetor ortogonal a esse plano vai ser levado no 0 , logo esse vetor vai ser um autovetor associado ao autovalor 0 . Enquanto os vetores que geram o plano Π quando submetidos a projeção vão permanecer exatamente no mesmo lugar, fazendo com que os vetores da base de Π sejam autovetores associados ao autovalor 1 . Dessa forma o polinômio característico deve ter apenas o 0 e 1 como solução. Então bora tesar as alternativas.

Passo 2

Na letra (a), temos:

p λ = - λ 3 - 2 λ 2 - λ

Para o autovalor 0 , temos:

p 0 = - 0 3 - 2 0 2 - 0

p 0 = 0

Show, então 0 realmente é um autovalor. Agora para o autovalor 1 , temos:

p 1 = - 1 2 - 2 1 2 - 1

p 1 = - 4

Logo o 1 não é um autovalor, alternativa falsa.

Passo 3

Na letra (b), temos o polinômio:

p λ = - λ 3 + λ 2 - λ

E testando para λ = 1 , temos:

p 1 = - 1 3 + 1 2 - 1

p 1 = - 1

E esse também não é nosso polinômio característico.

Passo 4

Já na letra (c), temos o polinômio:

p λ = - λ 3 - λ 2 - λ

E testando para λ = 1 , temos:

p 1 = - 1 3 - 1 2 - 1

p 1 = - 3

Que novamente não é nosso polinômio característico.

Passo 5

Por fim sobrou o polinômio:

p λ = - λ 3 + 2 λ 2 - λ

E testando o autovalor 1 , temos:

p 1 = - 1 + 2 1 - 1

p 1 = 0

Irado, e para o autovalor 0 , temos:

p 0 = - 0 3 + 2 0 2 - 0

p 0 = 0

Portanto nosso polinômio característico é:

p λ = - λ 3 + 2 λ 2 - λ

Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d)

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 5 x - y ,x + 3 y )
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?Se λ 1 = 4 e λ 2 = 2 são valores próprios de um operador linear T :R 2 → R 2 associados aos vetores próprios u = ( 2 ,1 ) e v =
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear: T :R 2 → R 2 ,T x ,y = ( 2 x + 2 y ,x + 3 y )