P4 de Álgebra Linear da UFRJ - 2014.2

Calcule o determinante da matriz

Sejam

A dimensão do autoespaço de associado ao autovalor é:

Seja uma matriz simétrica com exatamente dois autovalores distintos, um positivo e o outro negativo. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. O determinante de tem que ser positivo
2. O traço de pode ser nulo

I é verdadeira e II é falsa

I e II são verdadeiras

I é falsa e II é verdadeira

I e II são falsas

Seja uma matriz quadrada com . Assinale a alternativa FALSA:

não é injetiva

As linhas de são linearmente dependentes.

O núcleo de tem dimensão maior que zero

é sobrejetiva

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

1. Se é invertível então
2. Se e são matrizes quadradas e é invertível, então é invertível.

é verdadeira e é falsa

Ambas são verdadeiras

é falsa e é verdadeira

Ambas são falsas

Calcule os autovalores da matriz

, e

, e

, e

, e

Compute o determinante da matriz :

Compute a reflexão ortogonal do vetor em torno do espaço , onde é o conjunto solução da equação .

Seja uma matriz tal que sua terceira linha é igual à soma das duas primeiras linhas. Assinale a alternativa VERDADEIRA:

A terceira coluna de é a soma das duas primeiras colunas de .

As colunas de podem ser linearmente independentes.

O sistema sempre tem solução.

O núcleo de tem dimensão maior que zero.

Seja uma matriz tal que existem dois vetores distintos e satisfazendo . Podemos SEMPRE afirmar que:

1. A dimensão do núcleo de é maior que
2. A dimensão da imagem de é menor que

e são falsas

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é falsa

e são verdadeiras

Calcule a reta que melhor aproxima o conjunto de pontos no sentido dos mínimos quadrados.

Seja uma matriz quadrada. Considere o sistema e as afirmativas abaixo:

1. Se não é simétrica, então o sistema nunca tem solução não nula, qualquer que seja o valor de
2. Se é simétrica, então sempre existe um valor de para o qual o sistema tem solução não nula

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

e são falsas

e são verdadeiras

Seja uma matriz com apenas duas colunas linearmente independentes. Então o conjunto solução do sistema homogêneo

é um plano de

é um plano de

é uma reta de

é uma reta de

Considere as seguintes bases para :

e . Dado que o vetor de coordenadas de na base é , qual é o vetor de coordenadas de na base ?

A matriz , , possui os autovetores e associados, respectivamente, aos autovalores e . Seja . Calcule o limite de quando tende ao infinito: