A5 T1 T7
Seja uma matriz simétrica com exatamente dois autovalores distintos, um positivo e o outro negativo. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
- O determinante de tem que ser positivo
- O traço de pode ser nulo
I é verdadeira e II é falsa
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I e II são falsas
Passo 1
Lembra dos bizus que eu dei? Sabemos que o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores. E que o traço de uma matriz é a soma de seus autovalores.
Beleza, lembrado disso vamos desenvolver as informações do enunciado. A matriz é simétrica então, pelo teorema espectral ela é diagonalizável! Logo, como ela é temos autovalores. No entanto, o enunciado também fala que temos apenas autovalores distintos, um positivo e um negativo.
Vamos chamar o autovalor positivo de e o negativo de . Nesse caso existem combinações possíveis. Ou temos o autovalor repetido vezes e o apenas . Ou temos cada um deles aparecendo duas vezes. Ou ainda temos o repetido apenas vez e o vezes.
Vamos pegar esse último caso. Temos então que o determinante de seria:
Nesse caso vemos que é possível que o determinante seja menor que zero. Então a I é falsa!
Passo 2
Como disse ali em cima nós não sabemos quantas vezes cada autovalor é raiz do polinômio característico. Então se por acaso, estivessem distribuídos em vezes cada um raiz do polinômio característico e fossem um o oposto do outro por exemplo:
Nesse caso teríamos:
Isso não é verdade sempre mas é uma possibilidade então o traço de pode sim ser nulo. Então a afirmativa é verdadeira.
Resposta
Letra