Dado o polinômio p x = a x 3 + b x 2 + c x + d . Determine a, b, c, d, se p 0 = p 1 = - 2 p ' 0 = - 1 e p ' ' 0 = 10

Passo 1

E aí, galerinha! Esse problema é o que futuramente vocês vão ver muito como “condições de contorno” de um problema. Ou seja, a gente tem um polinômio, mas tem constantes que não conhecemos. Como solucionar isso? A gente tem algumas condições que vão ajudar!!

Por exemplo, aqui, o enunciado nos dá várias informações dos valores de p ( x ) dependendo do valor que x assume e das derivadas em um determinado valor de x .

A ideia aqui é, vamos usar as condições de contorno para encontrar os valores dessas constantes.

Passo 2

Então, a primeira condição é quando x = 0   e 1 o valor do polinômio é -1.

p 0 = p 1 = - 1

p 0 = a 0 3 + b 0 2 + c 0 + d = - 1

d = - 1

Opaaaa, já descobrimos um cara!! Agora vamos ver sobre a segunda condição!! Vem no passo 2!!

Passo 3

Temos a condição também de 2 p ' 0 = - 1

Vamos derivar nossa função.

p ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

2 p ' 0 = - 1

2 3 a × 0 2 + 2 b × 0 + c = - 1

2 c = - 1

c = - 1 2

Passo 4

A outra condição que temos é com a derivada segunda:

p ' ' 0 = 10

p ' ' = 6 a x + 2 b

p ' ' 0 = 2 b = 10

b = 5

Então até aqui temos que:

b = 5

c = - 1 2

d = - 1

Falta encontrarmos a!!!

Mas podemos retornar à condição de p 1 = - 1

p 0 = a + 5 - 1 2 - 1 = - 1

a = 1 2 - 5

a = 1 - 10 2 = - 9 2

Resposta

a = - 9 2

b = 5

c = - 1 2

d = - 1

Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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