Na fabricação de uma caixa, de forma cilíndrica, e volume 1 ( m 3 ) , utilizam-se, nas laterais e no fundo, um material que custa 1.000 o metro quadrado e na tampa um outro que custa 2.000 o metro quadrado. Expresse o custo C do material utilizado em função do raio r da base.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos aqui um problema de modelagem em que queremos estimar o custo C de uma caixa cilíndrica de raio da base r . O enunciado nos dá que o volume total desse cilindro é 1   m 3 , e o custo do material das laterais e fundo como 1000 e da tampa como 2000 . O Custo será dado como a soma de dois valores

C   =   C l a t e r a l + C b a s e + C t a m p a

O caminho para obter estas relações em termos de r é utilizar o volume dado para relacionar a área das laterais, fundo e tampa ao raio da base! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, como calculamos o volume de um cilindro? Temos que

V =   π r 2 h

área da base vezes altura do cilindro! Como temos que V = 1   m 3 , temos que

h =   1 π r 2

Essa informação nos será bastante útil! Sabe me dizer porquê? Saca só!

Passo 3

A área da lateral de um cilindro pode ser obtida calculando a área de um retângulo de altura h e largura igual à circunferência 2 π r da base do cilindro. Imagine uma lata, se você fizer um corte vertical nela e esticar, você obtém um retângulo! Portanto, a área da base lateral é tal que

A l a t e r a l = 2 π r h

Usando o h calculado anteriormente, temos que

A l a t e r a l = 2 r

O enunciado não especifica claramente, mas é preciso notar que o custa da lateral é 1000 por metro quadrado, ou não temos como resolver a questão! Ou seja, 1   m 2 custa 1000 , 2   m 2 custa 2000 e assim por diante, note que é sempre o valor multiplicado pela área, portanto, a lateral em geral custa

C l a t e r a l = 1000 A l a t e r a l = 1000 ( 2 r )

Ou resumindo, temos que

C l a t e r a l = 2000 r

Vamos fazer o mesmo agora para a tampa e para o fundo!

Passo 4

A área da base (tampa) de um cilindro é simplesmente a área do círculo, ou seja, temos que

A b a s e ( t a m p a ) = π r 2

Da mesma forma que fizemos anteriormente, note que a base custa 1000 por m 2 e a tampa custa 2000 por m 2 . Temos então que

C b a s e = 1000 A b a s e = 1000 π r 2

e o custo da tampa é

C t a m p a = 2000 A t a m p a = 2000 π r 2

Finalmente, nosso custo total será

C   =   2000 r + 1000 π r 2 + 2000 π r 2 = 3000 π r 2 + 2000 r

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C   = 3000 π r 2 + 2000 r

Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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