UFSCAR - Sem Campus - Cálculo 1 - Listas - Teste 9 - Listas de Estudos Cálculo 1 - UFSCAR - Lista 1 - Versão 2 - Questão 6
Na fabricação de uma caixa, de forma cilíndrica, e volume , utilizam-se, nas laterais e no fundo, um material que custa o metro quadrado e na tampa um outro que custa o metro quadrado. Expresse o custo do material utilizado em função do raio da base.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos aqui um problema de modelagem em que queremos estimar o custo de uma caixa cilíndrica de raio da base . O enunciado nos dá que o volume total desse cilindro é , e o custo do material das laterais e fundo como e da tampa como . O Custo será dado como a soma de dois valores
O caminho para obter estas relações em termos de é utilizar o volume dado para relacionar a área das laterais, fundo e tampa ao raio da base! Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, como calculamos o volume de um cilindro? Temos que
área da base vezes altura do cilindro! Como temos que , temos que
Essa informação nos será bastante útil! Sabe me dizer porquê? Saca só!
Passo 3
A área da lateral de um cilindro pode ser obtida calculando a área de um retângulo de altura e largura igual à circunferência da base do cilindro. Imagine uma lata, se você fizer um corte vertical nela e esticar, você obtém um retângulo! Portanto, a área da base lateral é tal que
Usando o calculado anteriormente, temos que
O enunciado não especifica claramente, mas é preciso notar que o custa da lateral é por metro quadrado, ou não temos como resolver a questão! Ou seja, custa , custa 2000 e assim por diante, note que é sempre o valor multiplicado pela área, portanto, a lateral em geral custa
Ou resumindo, temos que
Vamos fazer o mesmo agora para a tampa e para o fundo!
Passo 4
A área da base (tampa) de um cilindro é simplesmente a área do círculo, ou seja, temos que
Da mesma forma que fizemos anteriormente, note que a base custa por e a tampa custa por . Temos então que
e o custo da tampa é
Finalmente, nosso custo total será
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!