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Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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Enunciado

UFSC – Pré-Cálculo – Lista 5

8) Efetue as divisões de polinômios (encontrando o quociente e resto) e escreva as duas identidades associadas à divisão, conforme exemplo no item (a);

a) 2 x 2 - 5 x + 7 ÷ x - 4 ;

Quociente: 2 x + 3 ; Resto: 19;

Identidade (forma 1): 2 x 2 - 5 x + 7 = x - 4 2 x + 3 + 19

Identidade (forma 2): 2 x 2 - 5 x + 7 x - 4 = 2 x + 3 + 19 x - 4

b) x 3 - x 2 + x + 1 ÷ x - 1

c) x 3 - x 2 + x + 1 ÷ x 2 - 1

d) x 3 - 3 ÷ x 4 - 5 x + 7

e) - 3 x 2 - 14 x + 17 ÷ x 2 - 3

f) x 6 - 1 ÷ x - 1

Passo 1

Falaaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos efetuar as divisões dos polinômios e escrever conforme os exemplos.

Vamos tentar entender como o exemplo foi feito passo a passo.

Se a gente montar uma conta de divisão mesmo com os polinômios:

Temos o numerados na esquerda e o denominador na direita, certo?

O que a gente precisa multiplicar o x da direita pra ele ficar igual ao da esquerda?? 2 x , certo??

A gente o escreve embaixo, à direita.

Agora multiplicar 2 x x - 4 e o resultado colocamos lá embaixo do numerador (esquerda), maaas com o sinal de menos:

Fazemos a conta e depois repetimos até o final, que é quando não der pra multiplicar por mais nada:

Daí ficamos com:

Identidade (forma 1): 2 x 2 - 5 x + 7 = x - 4 2 x + 3 + 19

Identidade (forma 2): 2 x 2 - 5 x + 7 x - 4 = 2 + 3 + 19 x - 4

Passo 2

b) x 3 - x 2 + x + 1 ÷ x - 1

Fazendo o algoritmo:

Identidade (forma 1): x 3 - x 2 + x + 1 = x - 1 x 2 + 1 + 2

Identidade (forma 2): x 3 - x 2 + x + 1 x - 1 = x 2 + 1 + 2 x - 1

Passo 3

c) x 3 - x 2 + x + 1 ÷ x 2 - 1

Fazendo o algoritmo:

Identidade (forma 1): x 3 - x 2 + x + 1 = x 2 - 1 x - 1 + 2 x

Identidade (forma 2): x 3 - x 2 + x + 1 x 2 - 1 = x - 1 + 2 x x 2 - 1

Passo 4

d) x 3 - 3 ÷ x 4 - 5 x + 7

Aqui temos um caso diferente.

Repara que o maior expoente do polinômio que está dividindo é maior que o maior expoente do outro polinômio. Então não dá pra fazer a divisão mesmo...

Passo 5

e) - 3 x 2 - 14 x + 17 ÷ x 2 - 3

Fazendo o algoritmo:

Identidade (forma 1): - 3 x 2 - 14 x + 17 = x 2 - 3 - 3 - 14 x + 8

Identidade (forma 2): - 3 x 2 - 14 x + 17 x 2 - 3 = - 3 - 14 x x 2 - 3 + 8 x 2 - 3

Passo 6

f) x 6 - 1 ÷ x - 1

Fazendo o algorítmo:

Identidade (forma 1): x 6 - 1 = x - 1 x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

Identidade (forma 2): x 6 - 1 x - 1 = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

Resposta

Respostas nos passos

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