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Exercícios Resolvidos de Introdução aos polinômios

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Enunciado

Dados os polinômios P x = x 4 - 3 x 2 + 7 x e Q x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 , determine:

a   P x + Q ( x )

b   P x . Q ( x )

c   Q x - P ( x )

Diga qual o grau de cada polinômio encontrado nas alternativas.

Passo 1

FAAAAALA AÍ, meu aluno mais dedicado ever!!! Bora começar essa questãozinha do começo:

a   P x + Q x

Ora, você lembra quem são esses caras?

P x = x 4 - 3 x 2 + 7 x

Q x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

Show, agora para somar esses caras, basta somarmos os termos semelhantes:

P x + Q x = x 4 - 3 x 2 + 7 x + 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

P x + Q x = 9 x 5 + 1 - 3 x 4 + 2 x 3 + - 3 + 1 x 2 + 7 x - 1

P x + Q x = 9 x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 7 x - 1

Bom, o grau desse polinômio que encontramos é a potência de maior valor, que no nosso caso é 5 . Logo, o grau do polinômio é 5 .

Passo 2

Bora pra próxima!

b   P x . Q x

Agora precisamos fazer a multiplicação entre os polinômios:

P x . Q x = x 4 - 3 x 2 + 7 x . 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

É só fazer o chuveirinho:

P x . Q x = x 4 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - 3 x 2 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 + 7 x 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 + 2 x 7 + x 6 - x 4 - 27 x 7 + 9 x 6 - 6 x 5 - 3 x 4 + 3 x 2 + 63 x 6 - 21 x 5 + 14 x 4 + 7 x 3 - 7 x

Finalmente, juntando os termos:

P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 - 2 5 x 7 + 73 x 6 - 27 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 3 x 2 - 7 x

Prontinho. E o grau desse polinômio é 9 .

Lembrando que para o grau de um produto de polinômios, basta somar o grau de cada um.

No nosso caso: grau de P x é 4 e o grau de Q ( x ) é 5 . Logo, o grau de P x . Q x = 4 + 5 = 9 .

Passo 3

Dá uma olhada nessa última:

c   Q x - P ( x )

Agora nós vamos subtrair um polinômio do outro:

Q x - P x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - x 4 - 3 x 2 + 7 x

Não se esqueça, só operamos os termos semelhantes (que têm o mesmo grau):

Q x - P x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - x 4 + 3 x 2 - 7 x

Q x - P x = 9 x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 - 7 x - 1

E o grau desse amigo é 5 , que é o maior expoente.

Resposta

a   P x + Q x = 9 x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 7 x - 1   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   5

b   P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 - 25 x 7 + 73 x 6 - 27 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 3 x 2 - 7 x   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   9

c   Q x - P x = 9 x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 - 7 x - 1   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   5

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